Determinar o comprimento de arco das seguintes curvas:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar o comprimento do arco da curva definida por
no intervalo de
de
até
. Para resolver isso, vamos usar a matéria de Cálculo Diferencial, especificamente a fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula do comprimento de arco para uma curva parametrizada. Se temos uma curva
, o comprimento do arco de
até
é dado por:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
. Nossa curva é:
Vamos começar com
:
Usando a regra do produto:
Agora,
:
Também usando a regra do produto:
Passo 4
Vamos agora substituir
e
na fórmula do comprimento de arco:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos expandir os quadrados:
Somando as duas expressões:
Então, a expressão dentro da raiz simplifica para 2.
Passo 6
Agora que simplificamos, a integral fica bem mais fácil:
Integrando:
Resposta
O comprimento do arco da curva é
unidades.