Determinar o comprimento de arco das seguintes curvas:
r(t)=(t sen(ln t), t cos (ln t)) ; t in[1, pi].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar o comprimento do arco da curva definida por r(t) = (t sin(ln t), t cos(ln t)) no intervalo de t de 1 até pi. Para resolver isso, vamos usar a matéria de Cálculo Diferencial, especificamente a fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula do comprimento de arco para uma curva parametrizada. Se temos uma curva r(t) = (x(t), y(t)), o comprimento do arco de t = a até t = b é dado por:
L = integrala^b raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t. Nossa curva é:
x(t) = t sin(ln t) y(t) = t cos(ln t)
Vamos começar com dxdt:
Usando a regra do produto:
dxdt = sin(ln t) + t cdot cos(ln t) cdot 1t = sin(ln t) + cos(ln t)
Agora, dydt:
Também usando a regra do produto:
dydt = cos(ln t) + t cdot (-sin(ln t)) cdot 1t = cos(ln t) - sin(ln t)

Passo 4

Vamos agora substituir dxdt e dydt na fórmula do comprimento de arco:
L = integral1^pi raiz(sin(ln t) + cos(ln t))^2 + (cos(ln t) - sin(ln t))^2 , dt

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos expandir os quadrados:
(sin(ln t) + cos(ln t))^2 = sin^2(ln t) + 2 sin(ln t)cos(ln t) + cos^2(ln t) (cos(ln t) - sin(ln t))^2 = cos^2(ln t) - 2 sin(ln t)cos(ln t) + sin^2(ln t)
Somando as duas expressões:
sin^2(ln t) + 2 sin(ln t)cos(ln t) + cos^2(ln t) + cos^2(ln t) - 2 sin(ln t)cos(ln t) + sin^2(ln t) = 2sin^2(ln t) + 2cos^2(ln t) = 2(sin^2(ln t) + cos^2(ln t)) = 2 cdot 1 (já que sin^2 theta + cos^2 theta = 1) á
Então, a expressão dentro da raiz simplifica para 2.

Passo 6

Agora que simplificamos, a integral fica bem mais fácil:
L = integral1^pi raiz2 , dt = raiz2 integral1^pi dt
Integrando:
raiz2 [ t ]1^pi = raiz2 (pi - 1)

Resposta

O comprimento do arco da curva é raiz2,(pi - 1) unidades.

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