Determinar o comprimento de arco das seguintes curvas: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o comprimento do arco da curva dada por para . Isso está na área de Cálculo, mais especificamente em Cálculo Diferencial, onde usamos fórmulas para encontrar o comprimento de curvas parametrizadas. Vamos precisar calcular a derivada das componentes da função e aplicar a fórmula do comprimento de arco.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas das componentes da função . Isso significa que vamos derivar cada parte separadamente em relação a .
Para a componente :
Para a componente :
Passo 3
Agora que temos as derivadas, vamos usar a fórmula do comprimento do arco para curvas parametrizadas. A fórmula é:
Aqui, e . Vamos substituir as derivadas que encontramos:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então,
Agora, nossa integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral . Para isso, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar , então:
Vamos substituir na integral:
Integrando:
Agora, voltando para :
Passo 6
Vamos avaliar a expressão nos limites de integração: