Determinar o comprimento de arco das seguintes curvas:
alpha(t)=(2+6 t^2, 5+4 t^3) , 0 <= t <= raiz8.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o comprimento do arco da curva dada por alpha(t) = (2 + 6t^2, 5 + 4t^3) para 0 <= t <= raiz8. Isso está na área de Cálculo, mais especificamente em Cálculo Diferencial, onde usamos fórmulas para encontrar o comprimento de curvas parametrizadas. Vamos precisar calcular a derivada das componentes da função e aplicar a fórmula do comprimento de arco.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas das componentes da função alpha(t). Isso significa que vamos derivar cada parte separadamente em relação a t.
Para a componente x(t) = 2 + 6t^2:
dxdt = ddt(2) + ddt(6t^2) = 0 + 12t = 12t
Para a componente y(t) = 5 + 4t^3:
dydt = ddt(5) + ddt(4t^3) = 0 + 12t^2 = 12t^2

Passo 3

Agora que temos as derivadas, vamos usar a fórmula do comprimento do arco para curvas parametrizadas. A fórmula é:
L = integrala^b raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
Aqui, a = 0 e b = raiz8. Vamos substituir as derivadas que encontramos:
L = integral0^raiz8 raiz(12t)^2 + (12t^2)^2 , dt

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
(12t)^2 = 144t^2
(12t^2)^2 = 144t^4
Então,
raiz144t^2 + 144t^4 = raiz144t^2(1 + t^2) = 12traiz1 + t^2
Agora, nossa integral fica:
L = integral0^raiz8 12traiz1 + t^2 , dt

Passo 5

Vamos resolver a integral integral 12traiz1 + t^2 , dt. Para isso, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar u = 1 + t^2, então:
du = 2t , dt Rightarrow t , dt = du2
Vamos substituir na integral:
L = 12 integral raizu cdot du2 = 6 integral u^1/2 , du
Integrando:
6 cdot 23 u^3/2 + C = 4u^3/2 + C
Agora, voltando para u = 1 + t^2:
L = 4(1 + t^2)^3/2 |0^raiz8

Passo 6

Vamos avaliar a expressão nos limites de integração:
Para t = raiz8:
1 + (raiz8)^2 = 1 + 8 = 9
9^3/2 = raiz9^3 = raiz729 = 27
Para t = 0:
1 + 0 = 1
1^3/2 = 1
Subtraindo:
L = 4(27 - 1) = 4 times 26 = 104

Resposta

O comprimento do arco da curva é 104 unidades.

Exercícios relacionados