Determinar o comprimento de arco das seguintes curvas:
alpha(t)=((1-t^2)^12, ln (1+traiz1-t^2)-t) , 0 <= t <= raiz32.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir o comprimento de arco da curva dada pela função vetorial alpha(t) no intervalo de 0 a raiz32. Para isso, vamos usar um pouquinho de cálculo, especificamente sobre como calcular alongamentos de curvas paramétricas. Vamos precisar derivar as componentes da função e integrar a velocidade vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da função alpha(t):
alpha(t) = (raiz1 - t^2, ln(1 + traiz1 - t^2) - t)
Temos então:
x(t) = raiz1 - t^2 e y(t) = ln(1 + traiz1 - t^2) - t

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t, que são necessárias para achar a velocidade vetorial.
Para x(t):
dxdt = ddt(raiz1 - t^2) = -traiz1 - t^2
Para y(t), vamos derivar passo a passo:
y(t) = ln(1 + traiz1 - t^2) - t
Derivando:
dydt = 11 + t + t1 - t^2 - 1 = t^21 - t^2

Passo 4

Com as derivadas em mãos, a próxima etapa é usar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas:
L = integrala^b raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
Substituindo as derivadas que encontramos:
L = integral0^raiz32 raiz(-traiz1 - t^2)^2 + (t^21 - t^2)^2 , dt

Passo 5

Vamos simplificar o que está dentro da raiz:
raizt^21 - t^2 + t^4(1 - t^2)^2 = raizt^2(1 - t^2) + t^4(1 - t^2)^2 = raizt^21 - t^2 = t1 - t^2
Então, o comprimento de arco fica:
L = integral0^raiz32 t1 - t^2 , dt

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral:
integral t1 - t^2 , dt
Fazendo uma substituição simples:
u = 1 - t^2 Rightarrow du = -2t , dt Rightarrow -12 du = t , dt
A integral fica:
-12 integral 1u , du = -12 ln|u| + C = -12 ln(1 - t^2) + C

Passo 7

Aplicando os limites de integração de 0 a raiz32:
L = [ -12 ln(1 - (raiz32)^2) ] - [ -12 ln(1 - 0^2) ]
Simplificando:
L = -12 ln(1 - 34) = -12 ln(14) = 12 ln(4) = ln(2)

Resposta

O comprimento de arco da curva é ln(2).

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