Determinar o comprimento de arco das seguintes curvas:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir o comprimento de arco da curva dada pela função vetorial
no intervalo de
a
. Para isso, vamos usar um pouquinho de cálculo, especificamente sobre como calcular alongamentos de curvas paramétricas. Vamos precisar derivar as componentes da função e integrar a velocidade vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes da função
:
Temos então:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
, que são necessárias para achar a velocidade vetorial.
Para
:
Para
, vamos derivar passo a passo:
Derivando:
Passo 4
Com as derivadas em mãos, a próxima etapa é usar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar o que está dentro da raiz:
Então, o comprimento de arco fica:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral:
Fazendo uma substituição simples:
A integral fica:
Passo 7
Aplicando os limites de integração de
a
:
Simplificando:
Resposta
O comprimento de arco da curva é
.