Quando o ponto P na curva y=x^2 e o ponto Q no lado positivo do eixo x se movem de modo a satisfazer O P=O Q, considere R o ponto no qual a reta P Q intercepta o eixo y. Sabendo que o ponto P está no 1^circ quadrante e se aproxima do ponto de origem O, determine as coordenadas do ponto do qual R se aproxima.

Passo 1

O enunciado diz que P está na parábola y=x^2 no 1 ^circ quadrante e que Q está no eixo x positivo, de modo que OP=OQ. A reta PQ corta o eixo y em R. Quando P se aproxima da origem O, queremos achar o ponto para o qual R tende. Para isso vamos usar: (i) igualdade de distâncias ao longo de OP e OQ; (ii) equação da reta que passa por dois pontos; (iii) intercepto com o eixo y; (iv) limite quando Pto O.

Passo 2

Seja
P=(p,p^2), p>0,
e
Q=(a,0)
Como OP=OQ, temos
OP=raizp^2+p^4, OQ=a,
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a=raizp^2+p^4=praiz1+p^2

Passo 3

O coeficiente angular da reta PQ é
m=p^2-0p-a=p^2p-a
Em forma ponto-declive passando por Q fica
y = m,(x - a)
Para achar o intercepto com o eixo y (isto é, em x=0) calculamos
Ry = m,(0-a) = -,a,p^2p-a

Passo 4

Substituindo a=praiz1+p^2 em Ry:
Ry = -,praiz1+p^2,cdot p^2,p - praiz1+p^2, = -,p^3raiz1+p^2p,(1-raiz1+p^2) = -,p^2raiz1+p^21-raiz1+p^2
Racionalizando o denominador, multiplicamos numerador e denominador por l(1+raiz1+p^2r) e obtemos
Ry = raiz1+p^2,l(1+raiz1+p^2r) = (1+p^2)+raiz1+p^2

Passo 5

Agora basta tomar o limite quando pto0^+:
limpto0^+Ry = limpto0^+l(1+p^2+raiz1+p^2r) = 1+0+1 =2
Portanto, à medida que Pto O, o ponto R tende a (0,2).

Resposta

(0,2)

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