Obter o equação da parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo y, vértice em (1,3) e que passa pelo ponto ( 2,4 ). (Resp.: x^2-2x-y+4=0.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa encontrar a equação de uma parábola que tem o eixo de simetria paralelo ao eixo y. O vértice dessa parábola é no ponto (1, 3) e ela passa pelo ponto (2, 4). Para resolver isso, vamos usar a fórmula geral da parábola com eixo de simetria vertical e aplicar um pouquinho de álgebra. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a forma geral da equação de uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo y. A fórmula básica é:
(x - h)^2 = 4p(y - k)
Aqui, (h, k) é o vértice da parábola e p é a distância do vértice até o foco (ou a diretriz). Como nosso vértice é (1, 3), podemos substituir h por 1 e k por 3 na equação. Assim, a equação fica:
(x - 1)^2 = 4p(y - 3)

Passo 3

Agora, precisamos descobrir o valor de p. Para isso, vamos usar o ponto pelo qual a parábola passa, que é (2, 4). Vamos substituir x por 2 e y por 4 na equação que montamos:
(2 - 1)^2 = 4p(4 - 3)
Simplificando os cálculos:
1^2 = 4p(1)
1 = 4p
Agora, isolamos p dividindo ambos os lados por 4:
p = 14

Passo 4

Com o valor de p encontrado, podemos substituir de volta na equação da parábola:
(x - 1)^2 = 4(14)(y - 3)
Simplificando:
(x - 1)^2 = (y - 3)

Passo 5

Agora, vamos expandir a equação para deixá-la na forma geral. Primeiro, expandimos o lado esquerdo:
(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1
Então, temos:
x^2 - 2x + 1 = y - 3
Agora, vamos trazer todos os termos para um lado da equação para que ela fique igualada a zero:
x^2 - 2x + 1 - y + 3 = 0
Simplificando os termos constantes:
x^2 - 2x - y + 4 = 0

Resposta

A equação da parábola é:
x^2 - 2x - y + 4 = 0

Exercícios relacionados