Determinar se o conjunto dado de vectores gera o espaço vectorial dado.
Em
Passo 1
O enunciado nos dá dois vetores em , e , e pergunta se eles geram todo o espaço . Para isso vamos precisar do conceito de independência linear e da relação com o determinante de uma matriz .
Passo 2
Um par de vetores em gera o espaço se, e somente se, for linearmente independente. No caso de dois vetores, isso é equivalente a montar a matriz cujas colunas são esses vetores e verificar se o determinante é diferente de zero.
Passo 3
A matriz cujas colunas são os vetores dados é
O determinante de A é
det(A)=2cdot2 - 1cdot2 = 4 - 2 = 2 neq 0
Passo 4
Como det(A)neq0, os vetores são linearmente independentes. Em R^2, dois vetores independentes formam uma base e, portanto, geram todo o espaço.