Determinar se o conjunto dado de vectores gera o espaço vectorial dado.
Em R^2:(2,1),(2,2)

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores em R^2, (2,1) e (2,2), e pergunta se eles geram todo o espaço R^2. Para isso vamos precisar do conceito de independência linear e da relação com o determinante de uma matriz 2times 2.

Passo 2

Um par de vetores em R^2 gera o espaço se, e somente se, for linearmente independente. No caso de dois vetores, isso é equivalente a montar a matriz cujas colunas são esses vetores e verificar se o determinante é diferente de zero.

Passo 3

A matriz cujas colunas são os vetores dados é
A = 2 & 2 1 & 2
O determinante de A é
det(A)=2cdot2 - 1cdot2 = 4 - 2 = 2 neq 0

Passo 4

Como det(A)neq0, os vetores são linearmente independentes. Em R^2, dois vetores independentes formam uma base e, portanto, geram todo o espaço.

Resposta

Sim, (2,1) e (2,2) geram R^2.

Exercícios relacionados