Determinar se o conjunto dado de vectores gera o espaço vectorial dado.
Em R^3:[l0 1 2],[l2 2 1],[l3 1 1]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores
v1=012,
v2=221,
v3=311
geram todo o espaço R^3.
Conteúdo: teoria de espaços vetoriais, geração e independência linear.
Para mostrar que eles geram R^3 basta ver que são linearmente independentes, o que equivale a ter posto 3 ou determinante não nulo quando formamos a matriz com esses vetores como colunas.

Passo 2

Formamos a matriz A cujas colunas são v1,v2,v3:
A = 0 & 2 & 3 1 & 2 & 1 2 & 1 & 1

Passo 3

Calculamos o determinante de A pela regra de Sarrus ou expansão:
det(A) = 0cdot(2cdot1-1cdot1) -2cdot(1cdot1-1cdot2) +3cdot(1cdot1-2cdot2)
Agora avaliando cada produto:
0cdot(2-1)=0, -2cdot(1-2)=-2cdot(-1)=2, 3cdot(1-4)=3cdot(-3)=-9
Somando, det(A)=0+2-9=-7.

Passo 4

Como det(A)=-7neq0, os vetores são linearmente independentes e, sendo três vetores em R^3, eles formam uma base. Logo, eles geram todo R^3.

Resposta

Os três vetores geram R^3.

Exercícios relacionados