Determinar se o conjunto dado de vectores gera o espaço vectorial dado.
Em R^3:(1,-1,2),(-1,1,2),(0,0,1)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores (1,-1,2), (-1,1,2) e (0,0,1) geram o espaço R^3. Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear: dizer que eles geram R^3 significa que todo vetor (x,y,z)inR^3 pode ser escrito como combinação linear desses três vetores.

Passo 2

Suponha que um vetor genérico (x,y,z) seja combinação linear dos dados. Então existem escalares a,b,c tais que
a,(1,-1,2);+;b,(-1,1,2);+;c,(0,0,1);=;(x,y,z)

Passo 3

Comparando componente a componente, obtemos o sistema
x = a - b, y = -a + b, z = 2a + 2b + c
Note que, somando as duas primeiras equações, dá
x + y = (a - b) + (-a + b) = 0

Passo 4

O fato de x+y=0 ser condição necessária mostra que qualquer combinação linear dos três vetores só produz vetores cujo primeiro mais o segundo componente somam zero. Ou seja, o espaço gerado é o plano
(x,y,z)inR^3 mid x+y=0,
que tem dimensão 2, e não ocupa todo R^3.

Resposta

Os vetores não geram R^3.

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