Determinar se o conjunto dado de vectores gera o espaço vectorial dado.
Em
Passo 1
O enunciado pede para verificar se os vetores , e geram o espaço . Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear: dizer que eles geram significa que todo vetor pode ser escrito como combinação linear desses três vetores.
Passo 2
Suponha que um vetor genérico seja combinação linear dos dados. Então existem escalares tais que
Passo 3
Comparando componente a componente, obtemos o sistema
Note que, somando as duas primeiras equações, dá
x + y = (a - b) + (-a + b) = 0
Passo 4
O fato de x+y=0 ser condição necessária mostra que qualquer combinação linear dos três vetores só produz vetores cujo primeiro mais o segundo componente somam zero. Ou seja, o espaço gerado é o plano