Determinar se o subconjunto dado do espaço vetorial é um subespaço. ; é matriz diagonal
Passo 1
O enunciado apresenta o espaço vetorial de todas as matrizes sobre um corpo (por exemplo ) e o subconjunto
Queremos mostrar que é subespaço de . Para isso usaremos o critério padrão:
verificar se a matriz zero pertence a ,
verificar se é fechado sob soma,
verificar se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos a existência do vetor zero. A matriz zero
é claramente uma matriz diagonal (todos os elementos fora da diagonal também são zero). Logo 0in H.
Passo 3
Fechamento sob soma. Sejam D=diag(d1,dots,dn) e D'=diag(d'1,dots,d'n) duas matrizes em H. Então
D + D' = diag(d1+d'1,,dots,,dn+d'n),
que é também uma matriz diagonal. Portanto D+D'in H.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação por escalar. Seja lambda um escalar arbitrário e D=diag(d1,dots,dn)in H. Então
lambda D = diag(lambda d1,,dots,,lambda dn),
que é novamente uma matriz diagonal. Logo lambda Din H.
Resposta
O conjunto H das matrizes diagonais satisfaz os três critérios de subespaço (contém o zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação escalar). Portanto, H é de fato um subespaço de V=Mn n.