Determinar se o subconjunto dado H do espaço vetorial V é um subespaço.
V=Mn n;
H=D in Mn n mid D é matriz diagonal

Passo 1

O enunciado apresenta o espaço vetorial V=Mn n de todas as matrizes ntimes n sobre um corpo (por exemplo R) e o subconjunto
H = Din Mn nmid D é matriz diagonal é
Queremos mostrar que H é subespaço de V. Para isso usaremos o critério padrão:
  1. verificar se a matriz zero pertence a H,
  2. verificar se H é fechado sob soma,
  3. verificar se H é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos a existência do vetor zero. A matriz zero
0 = 0 & 0 & cdots & 0 0 & 0 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & 0
é claramente uma matriz diagonal (todos os elementos fora da diagonal também são zero). Logo 0in H.

Passo 3

Fechamento sob soma. Sejam D=diag(d1,dots,dn) e D'=diag(d'1,dots,d'n) duas matrizes em H. Então
D + D' = diag(d1+d'1,,dots,,dn+d'n),
que é também uma matriz diagonal. Portanto D+D'in H.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar. Seja lambda um escalar arbitrário e D=diag(d1,dots,dn)in H. Então
lambda D = diag(lambda d1,,dots,,lambda dn),
que é novamente uma matriz diagonal. Logo lambda Din H.

Resposta

O conjunto H das matrizes diagonais satisfaz os três critérios de subespaço (contém o zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação escalar). Portanto, H é de fato um subespaço de V=Mn n.

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