Determinar se o conjunto dado de vectores gera o espaço vectorial dado.
Em P2:-10+3 x+11 x^2, 10+9 x+4 x^2, 5+x+4 x^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os três polinômios
,-10+3x+11x^2,;10+9x+4x^2,;5+x+4x^2
geram o espaço P2 de todos os polinômios de grau <=2.
Sabendo que dim(P2)=3, basta montar a matriz dos coeficientes desses polinômios e checar se ela tem posto 3 (ou seja, determinante não nulo).

Passo 2

Extraímos os coeficientes em relação à base padrão 1,x,x^2 e formamos a matriz
A = -10 & 10 & 5 3 & 9 & 1 11 & 4 & 4
Se det(A)neq0, os vetores (polinômios) são linearmente independentes e, sendo três vetores num espaço de dimensão 3, formam base, logo geram P2.

Passo 3

Calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
det(A) = -10det9&14&4 -10det3&111&4 +5det3&911&4
Agora cada menor:
det9&14&4=9cdot4-1cdot4=32, det3&111&4=3cdot4-1cdot11=1, det3&911&4=3cdot4-9cdot11=-87
Substituindo:
det(A) = -10cdot32 -10cdot1 +5cdot(-87) = -320 -10 -435 = -765

Passo 4

Como det(A)=-765neq0, a matriz tem posto 3 e os três polinômios são linearmente independentes. Portanto eles formam base de P2 e geram todo o espaço.

Resposta

Sim. O conjunto -10+3x+11x^2,;10+9x+4x^2,;5+x+4x^2 gera P2.

Exercícios relacionados