Determinar se o conjunto dado de vetores é linearmente dependente ou linearmente independente.
binom1-1,binom-22

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores
v1 = binom1-1 e v2 = binom-22
em R^2 são linearmente independentes ou linearmente dependentes. Vamos usar a definição de dependência linear.

Passo 2

Por definição, v1 e v2 são linearmente dependentes se existem escalares alpha,beta, não ambos nulos, tais que
alpha,v1 + beta,v2 = binom00
Caso contrário, são linearmente independentes.

Passo 3

Escrevendo a combinação linear:
alpha binom1-1 + beta binom-22 = binom00
Isso gera o sistema
alpha - 2beta = 0, -alpha + 2beta = 0

Passo 4

Observe que as duas equações são equivalentes, pois
-alpha + 2beta = -(alpha - 2beta)=0
é a mesma condição de alpha - 2beta=0. Logo
alpha = 2beta
Podemos escolher, por exemplo, beta=1 e alpha=2, obtendo uma solução não trivial.

Passo 5

Como existe solução não trivial (alpha,beta)neq(0,0) que anula a combinação linear, concluímos que v1 e v2 são linearmente dependentes.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente.

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