Determinar se o conjunto dado de vetores é linearmente dependente ou linearmente independente.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto de vetores em R^2 20,;11,;1-1
é linearmente independente ou dependente. Para isso, usamos a definição: há dependência linear se existe uma combinação linear não trivial desses vetores que resulte no vetor nulo.
Passo 2
Em R^2 a dimensão do espaço é 2. Pelo teorema da dimensão, qualquer conjunto com mais de 2 vetores em R^2 é automaticamente linearmente dependente. Como aqui temos 3 vetores, eles já são dependentes.
Passo 3
Podemos encontrar explicitamente essa relação não trivial. Considere
c120 + c211 + c31-1 = 00
Isso gera o sistema
2c1 + c2 + c3 = 0, c2 - c3 = 0
Da segunda equação vem c2 = c3. Substituindo na primeira, 2c1 + 2c2 = 0 ou c1 + c2 = 0. Tomando, por exemplo, c2=c3=1 e c1=-1, obtemos