Determinar se o conjunto dado de vetores é linearmente dependente ou linearmente independente.
(l1 2 3),(l3 1 12),(c2 -3 -4)

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
v1=123, v2=31tfrac12, v3=2-3-4
e pede para decidir se são linearmente dependentes ou independentes. O conteúdo aqui é o critério de independência linear em R^3: montamos a matriz cujas colunas são esses vetores e verificamos se o determinante é não-nulo.

Passo 2

Formamos a matriz
A = 1 & 3 & 2 2 & 1 & -3 3 & tfrac12 & -4
Em R^3, os vetores são linearmente independentes se, e somente se, det(A)neq 0.

Passo 3

Calculamos det(A) por expansão na primeira linha:
det(A) =1cdotdet!1 & -3 [4pt] tfrac12 & -4 -3cdotdet!2 & -3 [4pt] 3 & -4 +2cdotdet!2 & 1 [4pt] 3 & tfrac12
Agora cada menor:
det!1 & -3 tfrac12 & -4 =1cdot(-4)-(-3)cdottfrac12=-4+tfrac32=-tfrac52,
det!2 & -3 3 & -4 =2cdot(-4)-(-3)cdot3=-8+9=1,
det!2 & 1 3 & tfrac12 =2cdottfrac12-1cdot3=1-3=-2

Passo 4

Substituindo esses valores:
det(A) =1cdotl(-tfrac52r)-3cdot1+2cdot(-2) =-tfrac52-3-4 =-tfrac192neq 0
Como o determinante é diferente de zero, concluímos que as colunas de A são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto de vetores é linearmente independente.

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