Determinar se o conjunto dado de vetores é linearmente dependente ou linearmente independente.
(1,-1,1,1),(0,1,1,-1)

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em R^4,
v1=(1,-1,1,1) e v2=(0,1,1,-1),
e pede para determinar se o conjunto v1,v2 é linearmente dependente ou independente.
Conteúdo: combinação linear e definição de independência (só a solução trivial da combinação linear igual a zero).

Passo 2

Escrevemos a combinação linear genérica nula:
alpha,v1 + beta,v2 = 0
Isto é,
alpha,(1,-1,1,1) + beta,(0,1,1,-1) = (0,0,0,0)
Extraindo as coordenadas, obtemos o sistema
alpha = 0, -,alpha + beta = 0, alpha + beta = 0, alpha - beta = 0

Passo 3

Da primeira equação segue alpha=0.
Substituindo em -alpha+beta=0 obtemos beta=0.
As duas últimas equações ficam 0+0=0 e 0-0=0, ambas satisfeitas.
Portanto a única solução é alpha=beta=0.

Passo 4

Como só existe a solução trivial da combinação linear, concluímos que os vetores não se anulam entre si, ou seja, são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto (1,-1,1,1),,(0,1,1,-1) é linearmente independente.

Exercícios relacionados