Determinar se o conjunto dado de vetores é linearmente dependente ou linearmente independente.
Em P2: 4-3 x+3 x^2, 4-2 x-2 x^2

Passo 1

O enunciado nos dá os polinômios p(x)=4-3x+3x^2 e q(x)=4-2x-2x^2 em P2 e pede para verificar se o conjunto p,q é linearmente dependente ou independente. Vamos usar a definição: são independentes se a combinação linear alpha,p(x)+beta,q(x)=0 só admite a solução trivial alpha=beta=0.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear nula:
alphal(4-3x+3x^2r)+betal(4-2x-2x^2r)=0
Como isso é o polinômio zero, igualamos coeficientes dos termos em x^0, x^1 e x^2.
Igualando coeficientes, obtemos o sistema
4alpha+4beta=0, -3alpha-2beta=0, 3alpha-2beta=0

Passo 3

Da primeira equação vem beta=-alpha. Substituindo em -3alpha-2beta=0 obtemos
-3alpha-2(-alpha)=-3alpha+2alpha=-alpha=0implies alpha=0,
logo beta=0.
Como a única solução é a trivial alpha=beta=0, os polinômios não são múltiplos um do outro e, portanto, formam um conjunto linearmente independente.

Resposta

O conjunto é linearmente independente.

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