Determinar se o conjunto dado de vetores é linearmente dependente ou linearmente independente.
[c1 2 1 -1],[l4 3 1 0][l2 0 1 3]

Passo 1

O enunciado fornece três vetores em R^4:
v1=121-1, v2=4310, v3=2013
e pede para determinar se eles são linearmente independentes ou não. Para isso, vamos considerar a combinação linear homogênea
a,v1 + b,v2 + c,v3 = 0,
montar o sistema e verificar se a única solução é a=b=c=0.

Passo 2

Escrevendo o sistema em forma matricial, temos
Aplicamos eliminação de Gauss para determinar o posto desta matriz.

Passo 3

Usando a primeira linha como pivô, eliminamos abaixo:
1 & 4 & 2 0 & -5 & -4 0 & -3 & -1 0 & 4 & 5
Em seguida, com pivô na segunda linha, eliminamos nas linhas 3 e 4:
linha 3tolinha 3-tfrac35,linha 2 Longrightarrow (0;0;tfrac75),
linha 4tolinha 4+tfrac45,linha 2 Longrightarrow (0;0;tfrac95)
O escadrejamento fica
1 & 4 & 2 0 & -5 & -4 0 & 0 & tfrac75 0 & 0 & tfrac95
Há pivôs nos três primeiros colunas, logo o posto é 3.

Passo 4

Como temos três incógnitas a,b,c e o posto da matriz de coeficientes é 3, o sistema homogêneo só admite a solução trivial
a=b=c=0
Isso significa que não existe combinação linear não trivial que anule os vetores, ou seja, eles são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes.

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