Determinar se o conjunto dado de vetores é linearmente dependente ou linearmente independente.
Passo 1
O enunciado fornece três vetores em
R^4 :
e pede para determinar se eles são linearmente independentes ou não. Para isso, vamos considerar a combinação linear homogênea
montar o sistema e verificar se a única solução é
a=b=c=0 .
Passo 2
Escrevendo o sistema em forma matricial, temos
Aplicamos eliminação de Gauss para determinar o posto desta matriz.
Passo 3
Usando a primeira linha como pivô, eliminamos abaixo:
Em seguida, com pivô na segunda linha, eliminamos nas linhas 3 e 4:
O escadrejamento fica
Há pivôs nos três primeiros colunas, logo o posto é
3 .
Passo 4
Como temos três incógnitas
a,b,c e o posto da matriz de coeficientes é
3 , o sistema homogêneo só admite a solução trivial
Isso significa que não existe combinação linear não trivial que anule os vetores, ou seja, eles são linearmente independentes.
Resposta
Os vetores são linearmente independentes.