Determinar se o conjunto dado de vetores é linearmente dependente ou linearmente independente.
Em P2: 2 t^2+t, t^2+3, t

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de polinômios
v1=2t^2+t, v2=t^2+3, v3=t
em P2 é linearmente dependente ou independente. O que vamos usar é a definição: esses vetores são L.I. se a única solução do sistema
c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0
for c1=c2=c3=0.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear e igualamos ao polinômio zero:
c1(2t^2+t) + c2(t^2+3) + c3(t) = 0
Como isso é o polinômio identicamente nulo, todos os coeficientes de t^2, t e termo constante devem ser zero.

Passo 3

Extraímos as equações de coeficientes:
coeficiente de t^2:
2c1 + c2 = 0;
coeficiente de t:
c1 + c3 = 0;
coeficiente constante:
3c2 = 0

Passo 4

Resolvendo o sistema:
3c2=0Rightarrow c2=0,
2c1 + c2=0Rightarrow 2c1=0;Rightarrow;c1=0,
c1 + c3=0Rightarrow c3=0
A única solução é c1=c2=c3=0, logo os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Os polinômios são linearmente independentes.

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