Determinar se o conjunto dado de vetores é linearmente dependente ou linearmente independente.
[ll1 & 1 2 & 1],[ll1 & 0 0 & 2],[ll0 & 3 2 & 1],[ll4 & 6 8 & 6]

Passo 1

O enunciado fornece quatro matrizes em M2times2(R):
A1=1&12&1, A2=1&00&2, A3=0&32&1, A4=4&68&6
e pede para determinar se elas são linearmente independentes ou não. O conteúdo usado é o de dependência linear em espaço vetorial de dimensão 4, e vamos precisar resolver alpha A1+beta A2+gamma A3+de<a A4=0.

Passo 2

Para transformar o problema num sistema de equações lineares, representamos cada como vetor em pela convenção
Assim:

Passo 3

Escrevemos a combinação linear nula:
alpha A1+beta A2+gamma A3+de<a A4=0inR^4
que gera o sistema
alpha+beta+0cdotgamma+4de<a=0, alpha+0cdotbeta+3gamma+6de<a=0, 2alpha+0cdotbeta+2gamma+8de<a=0, alpha+2beta+gamma+6de<a=0

Passo 4

Resolvendo:
da primeira equação beta=-alpha-4de<a;
da terceira alpha=-gamma-4de<a;
substituindo nessa e na segunda, obtemos gamma=-de<a e alpha=-3de<a;
então beta=-de<a. Como há solução não trivial ( de<aneq0), as matrizes são dependentes.

Passo 5

Encontramos a relação explícita, tomando de<a=1:
-3A1-1,A2-1,A3+1,A4=0 Longrightarrow A4=3A1+A2+A3

Resposta

O conjunto é linearmente dependente.

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