Determinar se o conjunto dado de vetores é linearmente dependente ou linearmente independente.
Em C[0,1]: sen x, cos x.

Passo 1

Temos o espaço vetorial C[0,1] das funções contínuas em [0,1] e o conjunto senx,cos x. Queremos usar a definição de independência linear: se uma combinação linear
a,senx + b,cos x equiv 0para todo xin[0,1]
implica a=b=0, então as funções são linearmente independentes.

Passo 2

Suponha que existam escalares a,binR tais que
a,senx + b,cos x = 0
para todo xin[0,1]. Em particular, avaliando em x=0 temos
a,sen0 + b,cos0 = 0 Longrightarrow 0 + bcdot1 = 0 Longrightarrow b = 0

Passo 3

Com b=0, a expressão vira
a,senx = 0
para todo x. Em particular, em x=1 (radiano) obtemos
a,sen(1) = 0
Como sen(1)neq 0, segue que
a = 0

Resposta

O único par (a,b) que zera a combinação é (0,0).
Logo, senx,cos x é linearmente independente em C[0,1].

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