Para quais valores de alpha os vectores (3,2,1), (-2,-1,-1), (alpha, 5,2) em R^3 são linearmente dependentes?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de alpha tais que os vetores
(3,2,1), (-2,-1,-1) e (alpha,5,2) em R^3 sejam linearmente dependentes.
Conteúdo: critério de dependência linear em R^3 via determinante de matriz 3times 3.

Passo 2

Disposto os três vetores como linhas de uma matriz A, temos
A = 3 & 2 & 1 -2 & -1 & -1 alpha & 5 & 2
Eles são linearmente dependentes se, e somente se, det(A)=0.

Passo 3

Calculemos o determinante por expansão na primeira linha:
det(A) =3cdotdet-1 & -15 & 2 -2cdotdet-2 & -1alpha & 2 +1cdotdet-2 & -1alpha & 5

Passo 4

Agora cada menor:
det-1 & -15 & 2 =(-1)cdot2 -(-1)cdot5 = -2+5 = 3,
det-2 & -1alpha & 2 =(-2)cdot2 -(-1)cdotalpha = -4 + alpha = alpha-4,
det-2 & -1alpha & 5 =(-2)cdot5 -(-1)cdotalpha = -10 + alpha = alpha-10
Substituindo:
det(A) = 3cdot3 ;-; 2cdot(alpha-4);+;(alpha-10) =9 -2alpha +8 +alpha -10 =7 - alpha

Passo 5

Para dependência linear, impomos det(A)=0, portanto
7 - alpha = 0 Longrightarrow alpha = 7

Resposta

O valor de alpha que torna os três vetores linearmente dependentes é alpha=7.

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