Para quais valores de alpha os vectores [c2 -3 1],[c-4 6 -2],[lalpha 1 2] em R^3 são linearmente dependentes?

Passo 1

O enunciado pede para quais valores de alpha os vetores
v1 = 2-31, v2 = -46-2, v3 = alpha12
em R^3 são linearmente dependentes. Para isso, vamos usar a definição de dependência linear: existe uma combinação não trivial
c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0
com pelo menos um coeficiente cineq0. Em R^3 também podemos checar se o determinante da matriz cujas colunas são v1,v2,v3 é nulo.

Passo 2

Observamos que
-2cdot v1 = -22-31 = -46-2 = v2
Isto mostra que v2 é múltiplo de v1, logo já existe uma combinação não trivial envolvendo só v1 e v2, por exemplo
1cdot v1 + tfrac12cdot v2 = 0

Passo 3

Como v1 e v2 são linearmente dependentes, qualquer conjunto que os contenha (incluindo v3) também será dependente, independente do valor de alpha. Em termos de determinante, se montássemos
detl[v1;v2;v3r]
ele daria sempre zero, pois duas colunas são proporcionais.

Resposta

Os três vetores são linearmente dependentes para todo alphainR.

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