Determinar o conjunto-solução dos sistemas de equações lineares.
\left{ \begin{aligned} x+y+2 z & =-1 \\ x-2 y+z & =-5 \\ 3 x+y+z & =3\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o conjunto-solução do sistema de equações lineares abaixo. As equações dadas são:
\begin{cases} x + y + 2z = -1,\\[4pt] x - 2y + z = -5,\\[4pt] 3x + y + z = 3. \end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As incógnitas são x, y e z.
  • Há três equações lineares envolvendo essas três incógnitas.
  • A tarefa é encontrar todos os pares ordenados (x,y,z) que satisfazem simultaneamente as três equações.]

Passo 2

Vou usar eliminação por linhas (eliminacão de Gauss) para resolver o sistema. Breve explicação didática da técnica:
  • Escreve-se o sistema como matriz aumentada (coeficientes + termos independentes).
  • Aplica-se operações elementares nas linhas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, somar a uma linha um múltiplo de outra. Essas operações não mudam o conjunto de soluções.
  • O objetivo é obter uma matriz triangular (ou escalonada), de modo a isolar uma variável na última equação e então fazer substituições regressivas (back-substitution).
    Essas ideias são fáceis de aplicar e permitem calcular os valores de x,y,z passo a passo.

Passo 3

Montando a matriz aumentada do sistema (coeficientes à esquerda, termos independentes à direita):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & -1\\[4pt] 1 & -2 & 1 & -5\\[4pt] 3 & 1 & 1 & 3 \end{array}\right]
Cada linha corresponde a uma equação: por exemplo a primeira linha diz 1\cdot x + 1\cdot y + 2\cdot z = -1.]

Passo 4

Eliminar x das linhas 2 e 3 usando a linha 1 como pivô.
Primeira operação:
R_2 \leftarrow R_2 - R_1.
Calculemos componente a componente:
  • Entrada coluna x: 1-1=0.
  • Entrada coluna y: -2 - 1 = -3.
  • Entrada coluna z: 1 - 2 = -1.
  • Termo independente: -5 - (-1) = -4.
    Logo R_2 fica [0\; -3\; -1\;|\; -4].
Segunda operação:
R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1.
Calculemos:
  • Entrada coluna x: 3 - 3\cdot1 = 0.
  • Entrada coluna y: 1 - 3\cdot1 = -2.
  • Entrada coluna z: 1 - 3\cdot2 = 1 - 6 = -5.
  • Termo independente: 3 - 3\cdot(-1) = 3 + 3 = 6.
    Logo R_3 fica [0\; -2\; -5\;|\; 6].
A matriz agora é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & -1\\[4pt] 0 & -3 & -1 & -4\\[4pt] 0 & -2 & -5 & 6 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora usamos a segunda linha como pivô para eliminar a componente y da terceira linha.
A segunda linha tem coeficiente em y igual a -3. Para zerar o -2 da terceira linha, fazemos
R_3 \leftarrow R_3 - \frac{2}{3}R_2.
Façamos os cálculos componente a componente (é importante mostrar as frações):
  • Coluna y: -2 - \frac{2}{3}\cdot(-3) = -2 - \frac{2}{3}\cdot(-3) = -2 - (-2) = 0.
  • Coluna z: -5 - \frac{2}{3}\cdot(-1) = -5 - \left(-\frac{2}{3}\right) = -5 + \frac{2}{3} = -\frac{15}{3} + \frac{2}{3} = -\frac{13}{3}.
  • Termo independente: 6 - \frac{2}{3}\cdot(-4) = 6 - \left(-\frac{8}{3}\right) = 6 + \frac{8}{3} = \frac{18}{3} + \frac{8}{3} = \frac{26}{3}.
Portanto R_3 fica [0\;0\; -\tfrac{13}{3}\;|\;\tfrac{26}{3}]. Multiplicando essa linha por 3 (operação permitida, só para simplificar), obtemos
[0\;0\; -13\;|\;26].
A matriz escalonada agora é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & -1\\[4pt] 0 & -3 & -1 & -4\\[4pt] 0 & 0 & -13 & 26 \end{array}\right].]

Passo 6

A última linha corresponde à equação (após simplificação)
-13z = 26.
Isolar z: dividindo ambos os lados por -13,
z = \frac{26}{-13} = -2.
Explicação: quando uma equação tem só um coeficiente não nulo (aqui só de z), basta dividir o termo independente pelo coeficiente para achar a variável.

Passo 7

Agora fazer substituição regressiva (back-substitution) para obter y.
Usamos a segunda linha, que corresponde à equação
-3y - z = -4.
Substituindo z = -2:
-3y - (-2) = -4 \quad\Longrightarrow\quad -3y + 2 = -4.
Isolando y:
-3y = -4 - 2 = -6 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{-6}{-3} = 2.
Comentário didático: sempre faça a substituição com cuidado de sinais (aqui o -z vira -(-2)=+2).

Passo 8

Por fim, encontramos x usando a primeira equação
x + y + 2z = -1.
Substituindo y = 2 e z = -2:
x + 2 + 2\cdot(-2) = -1 \quad\Longrightarrow\quad x + 2 - 4 = -1.
Então
x - 2 = -1 \quad\Longrightarrow\quad x = -1 + 2 = 1.
Verificação rápida (opcional): os valores encontrados satisfazem as operações feitas antes; os sinais e divisões foram tratadas passo a passo.

Resposta

(x,y,z) = (1,2,-2)

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