Determinar o conjunto-solução dos sistemas de equações lineares.
\left{\begin{aligned} x+y+2 z & =-1 \\ x-2 y+z & =-5 \\ 3 x+y+z & =3\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o conjunto-solução do sistema de equações lineares abaixo. As equações dadas são:
\begin{cases} x + y + 2z = -1,\\[4pt] x - 2y + z = -5,\\[4pt] 3x + y + z = 3. \end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
As incógnitas são x, y e z.
Há três equações lineares envolvendo essas três incógnitas.
A tarefa é encontrar todos os pares ordenados (x,y,z) que satisfazem simultaneamente as três equações.]
Passo 2
Vou usar eliminação por linhas (eliminacão de Gauss) para resolver o sistema. Breve explicação didática da técnica:
Escreve-se o sistema como matriz aumentada (coeficientes + termos independentes).
Aplica-se operações elementares nas linhas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, somar a uma linha um múltiplo de outra. Essas operações não mudam o conjunto de soluções.
O objetivo é obter uma matriz triangular (ou escalonada), de modo a isolar uma variável na última equação e então fazer substituições regressivas (back-substitution).
Essas ideias são fáceis de aplicar e permitem calcular os valores de x,y,z passo a passo.
Passo 3
Montando a matriz aumentada do sistema (coeficientes à esquerda, termos independentes à direita):
Agora usamos a segunda linha como pivô para eliminar a componente y da terceira linha.
A segunda linha tem coeficiente em y igual a -3. Para zerar o -2 da terceira linha, fazemos
R_3 \leftarrow R_3 - \frac{2}{3}R_2.
Façamos os cálculos componente a componente (é importante mostrar as frações):
A última linha corresponde à equação (após simplificação)
-13z = 26.
Isolar z: dividindo ambos os lados por -13,
z = \frac{26}{-13} = -2.
Explicação: quando uma equação tem só um coeficiente não nulo (aqui só de z), basta dividir o termo independente pelo coeficiente para achar a variável.
Passo 7
Agora fazer substituição regressiva (back-substitution) para obter y.
Usamos a segunda linha, que corresponde à equação