Identificar, esboçar e dizer se é de revolução a quádrica de equação:
k)
.
k)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para identificar e desenhar a curva quadrática dada pela equação
e dizer se ela é uma superfície de revolução. Vamos usar conceitos de conic sections (as chamadas seções cônicas) para resolver isso. Precisaremos entender tipos de curvas como elipses, hipérboles e parábolas, além de saber como identificar se a curva é gerada pela rotação de uma figura ao redor de um eixo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para identificar melhor que tipo de curva é essa. Podemos dividir todos os termos por 36:
Passo 3
Agora, a equação está na forma padrão de uma elipse:
Onde
é o centro da elipse,
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor. No nosso caso, o centro é
,
então
, e
então
.
Passo 4
Para esboçar a elipse, vamos marcar o centro no ponto
. A partir daí, desenhamos os semi-eixos:
- No eixo x, vamos 3 unidades para a direita e para a esquerda:
e . - No eixo y, vamos 2 unidades para cima e para baixo:
e .
Conectando esses pontos, formamos uma elipse alongada no eixo x.
Passo 5
Agora, sobre ser uma superfície de revolução: esse tipo de superfície é formado quando uma curva plana é girada em torno de um de seus eixos. No caso da elipse
, ela não está definida em três dimensões, mas podemos pensar se ela seria uma superfície de revolução ao girá-la em torno de um dos eixos.
Se girarmos essa elipse em torno do eixo x ou y, ela formaria um esferoide. Portanto, a elipse em si não é uma superfície de revolução, mas pode gerar uma ao ser girada.
Resposta
A equação
representa uma elipse com centro na origem, semi-eixo maior de 3 unidades no eixo x e semi-eixo menor de 2 unidades no eixo y. Ela não é uma superfície de revolução por si só, mas pode gerar uma ao ser girada em torno de um de seus eixos.