Identificar, esboçar e dizer se é de revolução a quádrica de equação:
k) 4 x^2+9 y^2=36.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para identificar e desenhar a curva quadrática dada pela equação e dizer se ela é uma superfície de revolução. Vamos usar conceitos de conic sections (as chamadas seções cônicas) para resolver isso. Precisaremos entender tipos de curvas como elipses, hipérboles e parábolas, além de saber como identificar se a curva é gerada pela rotação de uma figura ao redor de um eixo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para identificar melhor que tipo de curva é essa. Podemos dividir todos os termos por 36:
4x^236 + 9y^236 = 1 Rightarrow x^29 + y^24 = 1

Passo 3

Agora, a equação está na forma padrão de uma elipse:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Onde é o centro da elipse, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor. No nosso caso, o centro é , então , e então .

Passo 4

Para esboçar a elipse, vamos marcar o centro no ponto . A partir daí, desenhamos os semi-eixos:
  • No eixo x, vamos 3 unidades para a direita e para a esquerda: e .
  • No eixo y, vamos 2 unidades para cima e para baixo: e .
Conectando esses pontos, formamos uma elipse alongada no eixo x.

Passo 5

Agora, sobre ser uma superfície de revolução: esse tipo de superfície é formado quando uma curva plana é girada em torno de um de seus eixos. No caso da elipse , ela não está definida em três dimensões, mas podemos pensar se ela seria uma superfície de revolução ao girá-la em torno de um dos eixos.
Se girarmos essa elipse em torno do eixo x ou y, ela formaria um esferoide. Portanto, a elipse em si não é uma superfície de revolução, mas pode gerar uma ao ser girada.

Resposta

A equação representa uma elipse com centro na origem, semi-eixo maior de 3 unidades no eixo x e semi-eixo menor de 2 unidades no eixo y. Ela não é uma superfície de revolução por si só, mas pode gerar uma ao ser girada em torno de um de seus eixos.

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