Determinar as coordenadas do centro e discutir a natureza de cada uma das seguintes quádricas:
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.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de uma quádra! O enunciado pede para encontrar as coordenadas do centro e discutir a natureza da quádra dada por:
Para isso, vamos precisar completar os quadrados nas variáveis
,
e
para identificar melhor a forma da quádra. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos semelhantes:
Agora, vamos organizar cada grupo de termos:
Passo 3
Vamos completar os quadrados para cada variável. Começando com o
:
Fatorando o coeficiente de
:
Agora, completamos o quadrado dentro do parênteses:
Passo 4
Fazendo o mesmo para o
:
Fatorando o coeficiente de
:
Completando o quadrado:
Passo 5
Agora, para o
:
Fatorando o coeficiente de
:
Completando o quadrado:
Passo 6
Substituindo todas as expressões completas de volta na equação original:
Agora, somamos os termos constantes:
Passo 7
Isolamos os termos quadráticos:
Passo 8
Dividimos todos os termos por 144 para simplificar:
Simplificando as frações:
Passo 9
Agora, temos a equação na forma padrão de uma hiperboloide de uma folha:
onde
é o centro da quádra.
Comparando com nossa equação:
identificamos que:
- Centro
, -
, -
, -
.
Resposta
O centro da quádra é
e sua natureza é a de uma hiperboloide de uma folha.