Determinar as coordenadas do centro e discutir a natureza de cada uma das seguintes quádricas:
© 16 y^2-9 x^2+4 z^2-36 x-64 y-24 z=80.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de uma quádra! O enunciado pede para encontrar as coordenadas do centro e discutir a natureza da quádra dada por:
16 y^2 - 9 x^2 + 4 z^2 - 36 x - 64 y - 24 z = 80
Para isso, vamos precisar completar os quadrados nas variáveis , e para identificar melhor a forma da quádra. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos semelhantes:
-9x^2 - 36x + 16y^2 - 64y + 4z^2 - 24z = 80
Agora, vamos organizar cada grupo de termos:
-9x^2 - 36x + 16y^2 - 64y + 4z^2 - 24z = 80

Passo 3

Vamos completar os quadrados para cada variável. Começando com o -9(x^2 + 4x):
Fatorando o coeficiente de -9[(x + 2)^2 - 4] = -9(x + 2)^2 + 36:
Agora, completamos o quadrado dentro do parênteses:

Passo 4

Fazendo o mesmo para o 16(y^2 - 4y):
Fatorando o coeficiente de 16[(y - 2)^2 - 4] = 16(y - 2)^2 - 64:
Completando o quadrado:

Passo 5

Agora, para o 4(z^2 - 6z):
Fatorando o coeficiente de 4[(z - 3)^2 - 9] = 4(z - 3)^2 - 36:
Completando o quadrado:

Passo 6

Substituindo todas as expressões completas de volta na equação original:
-9(x + 2)^2 + 36 + 16(y - 2)^2 - 64 + 4(z - 3)^2 - 36 = 80
Agora, somamos os termos constantes:
-9(x + 2)^2 + 16(y - 2)^2 + 4(z - 3)^2 - 64 = 80

Passo 7

Isolamos os termos quadráticos:
-9(x + 2)^2 + 16(y - 2)^2 + 4(z - 3)^2 = 80 + 64
-9(x + 2)^2 + 16(y - 2)^2 + 4(z - 3)^2 = 144

Passo 8

Dividimos todos os termos por 144 para simplificar:
-9(x + 2)^2144 + 16(y - 2)^2144 + 4(z - 3)^2144 = 1
Simplificando as frações:
(x + 2)^216 - (y - 2)^29 - (z - 3)^236 = 1

Passo 9

Agora, temos a equação na forma padrão de uma hiperboloide de uma folha:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 - (z - l)^2c^2 = 1,
onde (x + 2)^216 - (y - 2)^29 - (z - 3)^236 = 1, é o centro da quádra.
Comparando com nossa equação:
identificamos que:
  • Centro ,
  • ,
  • ,
  • .

Resposta

O centro da quádra é e sua natureza é a de uma hiperboloide de uma folha.

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