Determinar a equação reduzida da parábola com foco F=(3,3) e diretriz y=5.

Passo 1

O enunciado pede a equação reduzida da parábola cuja definição é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de um foco e de uma diretriz. Aqui o foco é F=(3,3) e a diretriz é a reta y=5. Para resolver, vamos usar a condição
distância(P,F);=;distância(P,diretriz) ââ
e depois simplificar para chegar à forma canônica (x-h)^2=4p(y-k).

Passo 2

Seja P=(x,y) um ponto genérico da parábola. A distância de P ao foco F é
raiz(x-3)^2 + (y-3)^2
e a distância de P à diretriz y=5 é a distância vertical
l|y - 5r|
Portanto a condição de definição é
raiz(x-3)^2 + (y-3)^2 ;=;l|y - 5r|

Passo 3

Elevando ao quadrado dos dois lados e simplificando, temos
(x-3)^2 + (y-3)^2 = (y-5)^2
Expandindo e cancelando y^2:
(x-3)^2 + l(y^2 - 6y +9r) = y^2 -10y +25 ;Longrightarrow; (x-3)^2 + y^2 -6y +9 -y^2 +10y -25 = 0 ;Longrightarrow; (x-3)^2 +4y -16 = 0

Passo 4

Isolando em forma canônica (x-h)^2=4p(y-k), obtemos
(x-3)^2 = -4,(y - 4)
Aqui o vértice é (3,4), o parâmetro focal p=-1 (parábola voltada para baixo).

Resposta

(x-3)^2 = -4,(y - 4)

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