Determinar as coordenadas do vetor
em relação a base
Passo 1
O enunciado pede: determinar as coordenadas do vetor
em relação à base
.\n
Informações dadas:
.
A base tem os vetores
e
.
O que queremos encontrar: os escalares (coordenadas) e
tais que
seja combinação linear desses vetores da base.
Informações dadas:
A base
O que queremos encontrar: os escalares (coordenadas)
Passo 2
Conceito importante (explicadinho): as coordenadas de
na base
são os coeficientes da combinação linear que expressa
usando os vetores da base. Ou seja, procuramos
tais que
Se os vetores da base são linearmente independentes (o que é exigido de uma base), essa escrita é única. Para checar independência num caso 2D, podemos ver o determinante da matriz cujas colunas são os vetores da base; se o determinante for diferente de zero, a base é válida (independência garantida). Aqui a matriz das colunas é
cujo determinante vale
. Então há solução única.]
Passo 3
Agora traduzimos a condição em equações nas componentes. Escrevendo a combinação:
isso dá o sistema de equações componente a componente:
Passo 4
Vamos resolver o sistema passo a passo (método de substituição/eliminação, simples e rápido para
). Da primeira equação isolamos
:
Substituímos na segunda equação:
Agora desenvolvemos e resolvemos:
Com
, voltamos para
:
Passo 5
Cheque rápido (sempre faça isso na prova para evitar erro de contas): recombinar os vetores com os coeficientes encontrados:
que é exatamente
. Beleza — está correto.
Passo 6
Resumo didático-final e dica de prova: escolhemos resolver por substituição porque para um sistema
é o caminho mais direto sem frações. Alternativas que você pode usar em outras provas: resolver por inversão da matriz da base (se souber calcular inversa) ou por regra de Cramer. Mas para
, isolar uma variável e substituir geralmente é o mais rápido. Vai com calma nas contas e sempre cheque recombinando os vetores — ajuda a pegar erro de sinal.