Determinar as coordenadas do vetor \vec{v}=(4,7) em relação a base \beta=\{(2,1),(-1,2)\}

Passo 1

O enunciado pede: determinar as coordenadas do vetor \vec{v}=(4,7) em relação à base \beta=\{(2,1),(-1,2)\}.\n
Informações dadas:
\vec{v}=(4,7).
A base \beta tem os vetores (2,1) e (-1,2).
O que queremos encontrar: os escalares (coordenadas) \alpha e \beta tais que \vec{v} seja combinação linear desses vetores da base.

Passo 2

Conceito importante (explicadinho): as coordenadas de \vec{v} na base \beta são os coeficientes da combinação linear que expressa \vec{v} usando os vetores da base. Ou seja, procuramos \alpha,\beta tais que
\vec{v}=\alpha(2,1)+\beta(-1,2).
Se os vetores da base são linearmente independentes (o que é exigido de uma base), essa escrita é única. Para checar independência num caso 2D, podemos ver o determinante da matriz cujas colunas são os vetores da base; se o determinante for diferente de zero, a base é válida (independência garantida). Aqui a matriz das colunas é
\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix},
cujo determinante vale 2\cdot 2-(-1)\cdot 1=4+1=5\neq 0. Então há solução única.]

Passo 3

Agora traduzimos a condição em equações nas componentes. Escrevendo a combinação:
\alpha(2,1)+\beta(-1,2)=(4,7),
isso dá o sistema de equações componente a componente:
\begin{cases} 2\alpha - \beta = 4,\\[4pt] \alpha + 2\beta = 7. \end{cases}]

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo (método de substituição/eliminação, simples e rápido para 2\times2). Da primeira equação isolamos \beta:
\beta = 2\alpha - 4.
Substituímos na segunda equação:
\alpha + 2(2\alpha - 4) = 7.
Agora desenvolvemos e resolvemos:
\alpha + 4\alpha - 8 = 7,
5\alpha - 8 = 7,
5\alpha = 15,
\alpha = 3.
Com \alpha=3, voltamos para \beta = 2\alpha - 4:
\beta = 2\cdot 3 - 4 = 6 - 4 = 2.

Passo 5

Cheque rápido (sempre faça isso na prova para evitar erro de contas): recombinar os vetores com os coeficientes encontrados:
3(2,1)+2(-1,2)=(6,3)+(-2,4)=(4,7),
que é exatamente \vec{v}. Beleza — está correto.

Passo 6

Resumo didático-final e dica de prova: escolhemos resolver por substituição porque para um sistema 2\times2 é o caminho mais direto sem frações. Alternativas que você pode usar em outras provas: resolver por inversão da matriz da base (se souber calcular inversa) ou por regra de Cramer. Mas para 2\times2, isolar uma variável e substituir geralmente é o mais rápido. Vai com calma nas contas e sempre cheque recombinando os vetores — ajuda a pegar erro de sinal.

Resposta

[\vec{v}]_{\beta}=(3,2)

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