Verificar se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais
S=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, x=0\right\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto S é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2}.
As informações dadas são:
S=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x=0\right\}.
Ou seja, S é o conjunto de todos os pares cuja primeira coordenada é \,0 (é a reta vertical x=0 no plano).

Passo 2

Vamos lembrar o que precisamos checar para dizer que um subconjunto S de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial. Precisamos verificar três propriedades básicas:
  1. S não é vazio e contém o vetor zero de V.
  2. S é fechado sob soma: se u\in S e v\in S então u+v\in S.
  3. S é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in S e c\in\mathbb{R} então c\cdot u\in S.
    Vou checar cada uma delas passo a passo, explicando o porquê.

Passo 3

Verificação do vetor zero. O vetor zero em \mathbb{R}^{2} é (0,0). Como a definição de S exige apenas que a primeira coordenada seja zero, temos (0,0)\in S. Portanto S não é vazio e contém o vetor zero, condição 1) satisfeita.

Passo 4

Fechamento por soma. Tome vetores genéricos u,v\in S. Pela definição de S eles têm a forma
u=(0,y_{1}),\qquad v=(0,y_{2})
onde y_{1},y_{2}\in\mathbb{R}. Agora calcule a soma:
u+v=(0,y_{1})+(0,y_{2})=(0+0,\,y_{1}+y_{2})=(0,\,y_{1}+y_{2}).
A primeira coordenada da soma é 0, logo u+v também satisfaz a condição para pertencer a S. Assim u+v\in S. Um exemplo numérico para intuir: (0,2)+(0,-3)=(0,-1), que pertence a S.

Passo 5

Fechamento por multiplicação por escalar. Tome u\in S escrito u=(0,y) com y\in\mathbb{R}, e seja c\in\mathbb{R} um escalar qualquer. Multiplicando:
c\cdot u = c\cdot(0,y) = (c\cdot 0,\, c\cdot y) = (0,\, c y).
A primeira coordenada continua sendo 0, portanto c\cdot u\in S. Exemplos: 5\cdot(0,2)=(0,10) e (-1)\cdot(0,3)=(0,-3), ambos em S.

Passo 6

Conclusão lógica. Verificamos as três propriedades necessárias: S contém o vetor zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalar. Portanto S é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2}. Geometricamente, S é o eixo y (a reta vertical que passa pela origem), e toda reta que passa pela origem e é fechada por soma e escalares é subespaço — por isso fazia sentido o resultado.

Resposta

Sim. S é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2}.

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