Verificar se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
.
As informações dadas são:
As informações dadas são:
Ou seja,
é o conjunto de todos os pares cuja primeira coordenada é
(é a reta vertical
no plano).
Passo 2
Vamos lembrar o que precisamos checar para dizer que um subconjunto
de um espaço vetorial
é um subespaço vetorial. Precisamos verificar três propriedades básicas:
-
não é vazio e contém o vetor zero de . -
é fechado sob soma: se e então . -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e então .
Vou checar cada uma delas passo a passo, explicando o porquê.
Passo 3
Verificação do vetor zero. O vetor zero em
é
. Como a definição de
exige apenas que a primeira coordenada seja zero, temos
. Portanto
não é vazio e contém o vetor zero, condição 1) satisfeita.
Passo 4
Fechamento por soma. Tome vetores genéricos
. Pela definição de
eles têm a forma
onde
. Agora calcule a soma:
A primeira coordenada da soma é
, logo
também satisfaz a condição para pertencer a
. Assim
. Um exemplo numérico para intuir:
, que pertence a
.
Passo 5
Fechamento por multiplicação por escalar. Tome
escrito
com
, e seja
um escalar qualquer. Multiplicando:
A primeira coordenada continua sendo
, portanto
. Exemplos:
e
, ambos em
.
Passo 6
Conclusão lógica. Verificamos as três propriedades necessárias:
contém o vetor zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalar. Portanto
é um subespaço vetorial de
. Geometricamente,
é o eixo
(a reta vertical que passa pela origem), e toda reta que passa pela origem e é fechada por soma e escalares é subespaço — por isso fazia sentido o resultado.
Resposta
Sim.
é um subespaço vetorial de
.