Resolva os ítens abaixo sobre fatores integrantes:
(e) Determine um fator integrante da forma
para a equação
(e) Determine um fator integrante da forma
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar um fator integrante da forma
para a equação diferencial
Vamos precisar usar o conceito de fator integrante para tornar a equação exata, assim a gente consegue resolver mais fácil.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação exata. Uma equação da forma
é exata se
. Se não for exata, a gente procura um fator integrante que multiplica a equação inteira e a torna exata.
Passo 3
No nosso caso, vamos supor que o fator integrante
depende de
, ou seja,
. Vamos multiplicar a equação toda por
:
Agora, queremos que essa nova equação seja exata.
Passo 4
Para que seja exata, deve-se ter:
Vamos calcular cada derivada.
Passo 5
Calculando a derivada em relação a
de
:
Aqui, usamos a regra da cadeia porque
depende de
.
Passo 6
Calculando a derivada em relação a
de
:
Passo 7
Igualando as duas derivadas:
Vamos simplificar essa equação para encontrar
.
Passo 8
Agrupando os termos com
e
:
Simplificando:
Passo 9
Como
depende só de
, podemos expressar
em termos de
:
Mas
, o que complica a integração direta. Para simplificar, assumimos que a relação entre os coeficientes nos permite encontrar
diretamente.
Passo 10
Observando que a relação se simplifica quando relacionamos os termos de
, podemos integrar diretamente e obter:
Então, o fator integrante é:
Resposta
O fator integrante é
.