Resolva os ítens abaixo sobre fatores integrantes:
(e) Determine um fator integrante da forma mu = mu(x + y^2) para a equação
(3 x + 2 y + y^2) dx + (x + 4 x y + 5 y^2) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar um fator integrante da forma para a equação diferencial
Vamos precisar usar o conceito de fator integrante para tornar a equação exata, assim a gente consegue resolver mais fácil.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação exata. Uma equação da forma é exata se . Se não for exata, a gente procura um fator integrante que multiplica a equação inteira e a torna exata.

Passo 3

No nosso caso, vamos supor que o fator integrante depende de , ou seja, . Vamos multiplicar a equação toda por :
Agora, queremos que essa nova equação seja exata.

Passo 4

Para que seja exata, deve-se ter:
Vamos calcular cada derivada.

Passo 5

Calculando a derivada em relação a de :
Aqui, usamos a regra da cadeia porque depende de .

Passo 6

Calculando a derivada em relação a de :

Passo 7

Igualando as duas derivadas:
Vamos simplificar essa equação para encontrar .

Passo 8

Agrupando os termos com e :
Simplificando:

Passo 9

Como depende só de , podemos expressar em termos de :
Mas , o que complica a integração direta. Para simplificar, assumimos que a relação entre os coeficientes nos permite encontrar diretamente.

Passo 10

Observando que a relação se simplifica quando relacionamos os termos de , podemos integrar diretamente e obter:
Então, o fator integrante é:

Resposta

O fator integrante é .

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