Determinar d z / d x e d z / d y nos seguintes casos.
x y z=cos (x+y+z)

Passo 1

Vamos achar \partial z / \partial x e \partial z / \partial y para a equação implícita \;x\,y\,z\,:\;x y z = \cos(x+y+z). O conteúdo aqui é diferenciação implícita em funções de várias variáveis, e vamos precisar aplicar a condição \;F(x,y,z)=0 e usar \;dF=0.

Passo 2

Definimos a função implícita \(x,y,z)\mapsto F(x,y,z) \;= x y z - \cos(x+y+z). Sabemos que, se \;F(x,y,z(x,y))=0, então \;\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z} e \;\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de \;F. Em primeiro lugar, para o termo \;x y z,\
calculamos \;\frac{\partial}{\partial x}(x y z)=y z,\
para o termo \;-\cos(x+y+z) obtemos \;\frac{\partial}{\partial x}[-\cos(x+y+z)]=\sin(x+y+z).\
Logo, \;F_x=y z + \sin(x+y+z).\
Analogamente, \;F_y = x z + \sin(x+y+z),\
e \;F_z = x y + \sin(x+y+z).

Passo 4

Aplicando a fórmula \;\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}, obtemos:
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{y z + \sin(x+y+z)}{x y + \sin(x+y+z)}
$$

Passo 5

De modo análogo, usando \;\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}, chegamos a:
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{x z + \sin(x+y+z)}{x y + \sin(x+y+z)}
$$

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{y z + \sin(x+y+z)}{x y + \sin(x+y+z)}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{x z + \sin(x+y+z)}{x y + \sin(x+y+z)}

Exercícios relacionados