Seja r(t)=cos t i+sen t j+k. Determine
lim t 0[r(t) cdot r^prime(t)]

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetor
r(t)=cos t,i+sin t,j+k
e pede o valor de
limtto0l[r(t)cdotr'(t)r]
O conteúdo principal aqui é derivada de função vetor e produto escalar.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de r(t). Como r(t)=(cos t,;sin t,;1), temos
r'(t)=l(-sin t,;cos t,;0r)

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar r(t)cdotr'(t):
r(t)cdotr'(t) =cos tcdot(-sin t)+sin tcdotcos t+1cdot0 =-cos t,sin t+sin t,cos t =0
Note que isso vale para todo t.

Passo 4

Como o produto escalar é identicamente zero, a sua forma explícita é 0 para qualquer t. Logo
limtto0l[r(t)cdotr'(t)r]=0

Resposta

0

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