Questão 2) (Valor: 1,2 ponto) Considere a função f(x)=x^2-4 x+3x^2-9.
a) (0,4) Qual o domínio de f.
b) (0,8) Calcule os limites laterais de f(x) quando x tende a 3 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a Questão 2 que envolve a função f(x) = x^2 - 4x + 3x^2 - 9 . A matéria principal aqui é Funções Racionais. Para resolver os itens a) e b), vamos precisar entender o que é o domínio de uma função e como calcular limites laterais quando x se aproxima de um valor específico.

Passo 2

Item a) Qual o domínio de f .
Primeiro, o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis de x para os quais a função está definida. No caso de funções racionais, precisamos garantir que o denominador nunca seja zero, porque divisão por zero não está definida.
Aqui, o denominador é x^2 - 9 . Vamos encontrar os valores de x que tornam o denominador zero:
x^2 - 9 = 0
x^2 = 9
x = pm 3
Então, x = 3 e x = -3 tornam o denominador zero. Portanto, esses valores devem ser excluídos do domínio.

Passo 3

Então, o domínio de f(x) é todos os números reais menos x = 3 e x = -3 . Em forma de intervalo, fica:
Df = R setminus -3, 3

Passo 4

Item b) Calcule os limites laterais de f(x) quando x tende a 3.
Aqui, queremos encontrar o limite de f(x) quando x se aproxima de 3, tanto pela esquerda quanto pela direita.
Primeiro, facilitando a expressão, vamos fatorar o numerador e o denominador:
Numerador: x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)
Denominador: x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
Então, a função fica:
f(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 3)(x + 3)
Podemos simplificar cancelando o termo (x - 3) , mas lembrando que x neq 3 :
f(x) = x - 1x + 3 para x neq 3
Agora, vamos calcular os limites laterais:
Limite pela direita ( x to 3^+ ):
Substituindo 3 na expressão simplificada:
limx to 3^+ 3 - 13 + 3 = 26 = 13
Limite pela esquerda ( x to 3^- ):
Faz a mesma substituição:
limx to 3^- 3 - 13 + 3 = 26 = 13

Resposta

a) O domínio de f é R setminus -3, 3 .
b) Os limites laterais de f(x) quando x tende a 3 são ambos iguais a 13 .

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