Nos exercícios 29 a 32, determine o comprimento de arco da curva paramétrica.
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de comprimento de arco para uma curva paramétrica. A gente tem as funções
,
e
, e queremos encontrar o comprimento dessa curva quando
varia de
a
. Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de arco
de uma curva parametrizada por
:
Aqui,
e
são os limites do parâmetro
, que no nosso caso são
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
,
e
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:
Como
, a expressão fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular essa integral. Podemos usar uma substituição simples:
Se fizermos
, então
, e a integral fica:
Agora, aplicamos os limites de
a
:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
O comprimento de arco da curva é
unidades.