Nos exercícios 29 a 32, determine o comprimento de arco da curva paramétrica.
x=cos ^3 t, y=sen^3 t, z=2;
0 <= t <= pi / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de comprimento de arco para uma curva paramétrica. A gente tem as funções x = cos^3 t , y = sin^3 t e z = 2 , e queremos encontrar o comprimento dessa curva quando t varia de 0 a pi2 . Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de arco L de uma curva parametrizada por t :
L = integrala^b raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 , dt
Aqui, a e b são os limites do parâmetro t , que no nosso caso são 0 e pi2 .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de x , y e z em relação a t :
dxdt = ddt (cos^3 t) = 3cos^2 t (-sin t) = -3cos^2 t sin t
dydt = ddt (sin^3 t) = 3sin^2 t cos t
dzdt = ddt (2) = 0

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
L = integral0^pi2 raiz(-3cos^2 t sin t)^2 + (3sin^2 t cos t)^2 + 0^2 , dt
Simplificando dentro da raiz:
= integral0^pi2 raiz9cos^4 t sin^2 t + 9sin^4 t cos^2 t , dt
= integral0^pi2 raiz9cos^2 t sin^2 t (cos^2 t + sin^2 t) , dt
Como cos^2 t + sin^2 t = 1 , a expressão fica:
= integral0^pi2 raiz9cos^2 t sin^2 t , dt
= integral0^pi2 3cos t sin t , dt

Passo 5

Agora, vamos calcular essa integral. Podemos usar uma substituição simples:
integral 3cos t sin t , dt
Se fizermos u = sin t , então du = cos t , dt , e a integral fica:
= 3 integral u , du = 32 u^2 + C = 32 sin^2 t + C
Agora, aplicamos os limites de 0 a pi2 :
L = [ 32 sin^2 t ]0^pi2 = 32 sin^2 ( pi2 ) - 32 sin^2 (0)
Sabemos que sin ( pi2 ) = 1 e sin(0) = 0 , então:
L = 32 (1)^2 - 32 (0)^2 = 32 - 0 = 32

Resposta

O comprimento de arco da curva é 32 unidades.

Exercícios relacionados