Seja r(t)=cos t i+sen t j+k. Determine
lim t 0[r(t) times r^prime(t)]

Passo 1

O enunciado dá a curva
r(t)=cos t,i+sin t,j+k
e pede o limite
limtto0l[r(t)timesr'(t)r].
Para isso, vamos (1) encontrar r'(t), (2) montar o produto vetorial r(t)timesr'(t) via determinante, e (3) avaliar em t=0.

Passo 2

Calculemos a derivada componente a componente:
r'(t) =ddtl(cos t,;sin t,;1r) =(-sin t,;cos t,;0)

Passo 3

O produto vetorial é dado pelo determinante
r(t)timesr'(t) = i & j & k cos t & sin t & 1 -sin t & cos t & 0
Expandindo, obtemos
r(t)timesr'(t) =il(sin tcdot0 - 1cdotcos tr) -jl(cos tcdot0 - 1cdot(-sin t)r) +kl(cos tcdotcos t - sin tcdot(-sin t)r)
Isto simplifica para
r(t)timesr'(t) =-cos t,i-sin t,j +l(cos^2t+sin^2tr)k =-cos t,i-sin t,j+k

Passo 4

Como a expressão é contínua em t, basta substituir t=0:
limtto0l[r(t)timesr'(t)r] =-cos0,i-sin0,j+k =-1,i-0,j+k =-i+k

Resposta

-i+k

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