Determinar d zd t, usando a regra da cadeia:
z=arctg(x y), x=2 t, y=3 t

Passo 1

Nesse exercício, temos a função composta z=arctan(xy) com x=2t e y=3t. O conteúdo principal é a regra da cadeia, junto com a derivada de arctan(u), que é tfracddul(arctan(u)r)=tfrac11+u^2, e a derivada de produto usada para u=xy.

Passo 2

Para simplificar a aplicação da regra da cadeia, definimos u=xy. Substituindo x=2t e y=3t, obtemos:
u = (2t)(3t) = 6t^2
Agora calculamos tfracdudt. Como u=6t^2, temos:
dudt = 12t

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia: tfracdzdt=tfracdzducdottfracdudt. Sabendo que tfracdzdu=tfrac11+u^2, substituímos u=6t^2 e tfracdudt=12t:
dzdt = 11+u^2cdot12t = 11+(6t^2)^2cdot12t = 12t1+36t^4

Resposta

dzdt=12t1+36t^4

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