Use o Teste de Comparação no Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
1+13+15+17+cdots

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
sumk=0^infty12k+1=1+13+15+17+cdots
usando o Teste da Comparação no Limite. Vamos comparar essa série com a série harmônica
sumk=1^infty1k,
cuja divergência é bem conhecida.

Passo 2

Definimos os termos das duas séries como
ak = 12k+1 e bk = 1k
O Teste da Comparação no Limite diz que, se
L = limktoinftyakbk
existe e é um número finito positivo, então as duas séries sum ak e sum bk têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem).

Passo 3

Calculamos o limite
L = limktoinfty12k+11k = limktoinftyk2k+1 = 12
Como 0 < L = tfrac12 < infty, o Teste da Comparação no Limite nos permite concluir que sum ak diverge se, e somente se, sum bk diverge.

Passo 4

Sabendo que a série harmônica
sumk=1^infty1k
é divergente, segue que a série
sumk=0^infty12k+1
também diverge.

Resposta

A série 1+tfrac13+tfrac15+tfrac17+cdots diverge.

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