Determinar d zd t, usando a regra da cadeia:
z=x y, x=2 t^2+1, y=sen t

Passo 1

O enunciado pede a derivada tfracdzdt de uma função composta de duas variáveis x e y que dependem de t, onde
z = x,y, x = 2t^2+1, y = sen t
O conteúdo é a regra da cadeia para funções de várias variáveis, ou equivalentemente o produto de duas funções de t.

Passo 2

Calculamos primeiro as derivadas parciais de z em relação a x e y, e as derivadas de x e y em relação a t:
partial zpartial x = y, partial zpartial y = x,
dxdt = ddt(2t^2+1) = 4t, dydt = ddt(sen t) = cos t

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para funções de duas variáveis:
dzdt = partial zpartial x,dxdt + partial zpartial y,dydt = ycdot(4t) + xcdot(cos t)
Substituindo x = 2t^2+1 e y = sen t, obtemos
dzdt = 4t,sen t + (2t^2+1)cos t

Resposta

dzdt = 4t,sen t + (2t^2+1)cos t

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