Use o Teste de Comparação no Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty 1n^1+1 / n

Passo 1

Temos a série sumn=1^infty 1n^1+1/n. O assunto é teste de comparação no limite para séries de termos positivos; a ideia é comparar com a série harmônica sumn=1^infty 1n.

Passo 2

No teste de comparação no limite, definimos an = 1n^1+1/n e escolhemos bn = 1n. A teoria diz que se
L = limntoinfty anbn
existe finito e 0< L< infty, então as duas séries convergem ou divergem juntas.

Passo 3

Calculamos o limite:
limntoinfty anbn = limntoinfty 1n^1+1/n1n = limntoinfty nn^1+1/n = limntoinfty n^-1/n = limntoinfty e^-ln nn = e^0 = 1

Passo 4

Como o limite é um número finito e positivo (igual a 1), pelo teste de comparação no limite a série sum an diverge se e somente se a série harmônica sum bn diverge. E como sabemos que sumn=1^infty 1n é divergente, concluímos que a série dada também diverge.

Resposta

A série diverge.

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