Determine
, onde a função
dada por:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função
. As informações dadas são:
- A função é
- Observação importante: a função só está definida para
(porque aparecem no denominador). - A tarefa: calcular
, a derivada de em termos de .
Passo 2
Para derivar é mais fácil reescrever cada termo com potências de
. Lembrando que
e
, temos:
Agora vou usar duas regras básicas de diferenciação (explico em linguagem tranquila):
- Regra da linearidade: a derivada de soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas. Ou seja,
. - Regra do fator constante: se
é constante então . - Regra da potência (fundamental aqui): para qualquer expoente real
,
Exemplo rápido para fixar:
porque aplicamos
.
Passo 3
Aplicando a regra da potência termo a termo:
- Para
: a constante sai e a derivada de é . Logo
- Para
: a derivada de é . Logo
- Para
: pensar como . A derivada de é , então
- Para a constante
: a derivada de uma constante é , então
Somando tudo (pela linearidade):
Passo 4
Reescrevendo com potências negativas ou frações, conforme preferir:
Também é possível colocar em uma única fração com denominador
. Colocando todos sobre
:
Ou reorganizando o numerador:
Lembrando sempre que essas expressões valem para
.
Passo 5
Resumo rápido do que foi feito (para você lembrar na hora da prova):
- Reescrevi as frações como potências negativas para aplicar a regra da potência.
- Derivei termo a termo usando linearidade e fator constante.
- Simplifiquei a forma final em duas representações equivalentes que costumam aparecer em provas.