Determine f^{\prime}(x), onde a função f dada por:
f(x)=\frac{2}{x^{3}}+\frac{1}{x}-x+3

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função f. As informações dadas são:
  • A função é f(x)=\frac{2}{x^{3}}+\frac{1}{x}-x+3.
  • Observação importante: a função só está definida para x\neq0 (porque aparecem x no denominador).
  • A tarefa: calcular f^{\prime}(x), a derivada de f em termos de x.

Passo 2

Para derivar é mais fácil reescrever cada termo com potências de x. Lembrando que \dfrac{1}{x^{3}}=x^{-3} e \dfrac{1}{x}=x^{-1}, temos:
f(x)=2x^{-3}+x^{-1}-x+3.
Agora vou usar duas regras básicas de diferenciação (explico em linguagem tranquila):
  • Regra da linearidade: a derivada de soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas. Ou seja, \big(h+g\big)^{\prime}=h^{\prime}+g^{\prime}.
  • Regra do fator constante: se c é constante então (c\cdot h(x))^{\prime}=c\cdot h^{\prime}(x).
  • Regra da potência (fundamental aqui): para qualquer expoente real n,
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{n-1}.
Exemplo rápido para fixar: \frac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2} porque aplicamos n=3.

Passo 3

Aplicando a regra da potência termo a termo:
  1. Para 2x^{-3}: a constante 2 sai e a derivada de x^{-3} é -3x^{-4}. Logo
\frac{d}{dx}\big(2x^{-3}\big)=2\cdot(-3)x^{-4}=-6x^{-4}.
  1. Para x^{-1}: a derivada de x^{-1} é -1\cdot x^{-2}. Logo
\frac{d}{dx}\big(x^{-1}\big)=-x^{-2}.
  1. Para -x: pensar como -1\cdot x. A derivada de x é 1, então
\frac{d}{dx}\big(-x\big)=-1.
  1. Para a constante 3: a derivada de uma constante é 0, então
\frac{d}{dx}(3)=0.
Somando tudo (pela linearidade):
f^{\prime}(x)=-6x^{-4}-x^{-2}-1+0.

Passo 4

Reescrevendo com potências negativas ou frações, conforme preferir:
f^{\prime}(x)=-\frac{6}{x^{4}}-\frac{1}{x^{2}}-1.
Também é possível colocar em uma única fração com denominador x^{4}. Colocando todos sobre x^{4}:
-\frac{6}{x^{4}}-\frac{1}{x^{2}}-1 = -\frac{6}{x^{4}}-\frac{x^{2}}{x^{4}}-\frac{x^{4}}{x^{4}} = -\frac{6+x^{2}+x^{4}}{x^{4}}.
Ou reorganizando o numerador:
f^{\prime}(x)=-\frac{x^{4}+x^{2}+6}{x^{4}}.
Lembrando sempre que essas expressões valem para x\neq0.

Passo 5

Resumo rápido do que foi feito (para você lembrar na hora da prova):
  • Reescrevi as frações como potências negativas para aplicar a regra da potência.
  • Derivei termo a termo usando linearidade e fator constante.
  • Simplifiquei a forma final em duas representações equivalentes que costumam aparecer em provas.

Resposta

f^{\prime}(x)=-\frac{6}{x^{4}}-\frac{1}{x^{2}}-1

Exercícios relacionados