Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:
h(t)=(sen t, cos t, t), P(1,0, pi / 2)

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial
h(t)=(sin t,;cos t,;t)
e indica o ponto P=(1,0,pi/2), que corresponde a h(t0)=P com t0=pi/2. Vamos usar a regra de derivação componente a componente para obter h'(t) e depois avaliar em t0.

Passo 2

Para derivar uma função vetorial, basta derivar cada componente separadamente. Se
h(t)=(h1(t),,h2(t),,h3(t)),
então
h'(t)=(h1'(t),,h2'(t),,h3'(t))
As derivadas que precisamos são
ddtsin t=cos t,
ddtcos t=-sin t e
ddtt=1.

Passo 3

Aplicando essas regras em cada componente de h(t), obtemos
h'(t)=(cos t,,-sin t,,1)

Passo 4

Para achar a derivada no ponto P, vemos que em t0=pi/2 a função realmente passa em P (pois sin(pi/2)=1 e cos(pi/2)=0). Avaliando h'(t) em t=pi/2
h'l(tfracpi2r) =(costfracpi2,,-sintfracpi2,,1) =(0,,-1,,1)

Resposta

h'(t)=(cos t,,-sin t,,1)
h'(pi/2)=(0,,-1,,1)

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