Mostrar que as equações dadas abaixo são exatas e em seguida resolva-as.
3 x^2 y d x+x^3 d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
3x^2,y,dx ;+; x^3,dy ;=;0
e pede para mostrar que ela é exata e, em seguida, resolvê-la. O conteúdo envolve equações diferenciais exatas, onde definimos
M(x,y)=3x^2y e N(x,y)=x^3
e verificamos se
partial M/partial y=partial N/partial x.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y =partial(3x^2y)partial y =3x^2,
partial Npartial x =partial(x^3)partial x =3x^2
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a EDO é exata.

Passo 3

Procuramos uma função potencial Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x=M(x,y)=3x^2y
Integramos em x:
Phi(x,y) =integral 3x^2y,dx =x^3y + h(y),
onde h(y) é uma função de y a determinar.

Passo 4

Agora impomos
partial Phipartial y =x^3 + h'(y) stackrel!!=N(x,y)=x^3
Daí h'(y)=0, logo h(y) é constante.

Passo 5

Assim, a função potencial geral é
Phi(x,y)=x^3y + C
e a solução implícita da EDO exata é
Phi(x,y)=K,
com K constante arbitrária.

Resposta

x^3,y = K,
onde K é constante.

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