Duas caixas de som com mesma potência distantes 20 m emitem um som em todas as direções com frequência igual a 343 Hz em fase. Este problema trata do som nos pontos em cima do eixo que passa pelas duas caixas, com a primeira em x=-10 m e a segunda em x=10 m. Os deslocamentos do ar devidos à caixa da esquerda e à da direita são dados, no S.I., por:
uE(x, t)=10^-3|x+10| cos (2 pi(x-343 t))
e
uD(x, t)=-10^-3|x-10| cos (2 pi(x+343 t))
(a) Calcule, em x=0, o nível sonoro de uE(x, t) apenas. (b) No ponto x=0, qual é o deslocamento resultante considerando-se as duas caixas? Sendo assim, o som é escutado com qual intensidade nesse ponto? (b) No ponto x=0,25 m, qual é o deslocamento resultante considerando-se as duas caixas? Sendo assim, o som é escutado com qual intensidade nesse ponto?

Passo 1

O enunciado dá duas fontes sonoras em x=–10 m e x=10 m emitindo ondas longitudinais de frequência 343 Hz em fase. Os deslocamentos são
uE(x,t)=10^-3|x+10|cosl(2pi(x-343t)r)e uD(x,t)=-10^-3|x-10|cosl(2pi(x+343t)r)
Queremos (a) o nível em x=0 só de u_E, (b) em x=0 a superposição de u_E e u_D e seu nível, (c) mesmo em x=0,25 m. Para isso vamos usar superposição de ondas e a relação entre amplitude de deslocamento, intensidade acústica e nível sonoro.

Passo 2

Para (a), em x=0 temos
uE(0,t)=10^-3|0+10|cosl(2pi(0-343t)r)=10^-4cos(2picdot343t)
A amplitude de deslocamento é xi=10^-4 m.

Passo 3

A intensidade acústica média para onda longitudinal é dada por
I=tfrac12,rho,c,(omega,xi)^2
onde adotamos densidade do ar rho=1,2 kg/m³, velocidade do som c=343 m/s e omega=2pi f=2picdot343 rad/s. Substituindo xi=10^-4 m obtém-se aproximadamente
Iapprox9,56 W/m^2
O nível sonoro é
L=10log10II0, I0=10^-12 W/m^2,
logo
Lapprox10log10(9,56times10^12)approx129,8 dBapprox130 dB

Passo 4

Em (b), em x=0 também
uD(0,t)=-10^-310cos(2pi(0+343t))=-10^-4cos(2picdot343t)
Assim
utot(0,t)=10^-4cos(2picdot343t)-10^-4cos(2picdot343t)=0
Não há deslocamento resultante, ou seja, I=0 e o nível é nulo (silêncio, L=-infty dB).

Passo 5

Em (c), em x=0,25 m temos distâncias |x+10|=10,25 m e |x-10|=9,75 m. Logo
AE=10^-310,25approx9,756times10^-5, AD=10^-39,75approx1,026times10^-4
Escrevendo os cossenos:
uEproptocos(2picdot0,25-omega t)=cosl(tfracpi2-omega tr)=sin(omega t),
uDpropto-cos(2picdot0,25+omega t)=-cosl(tfracpi2+omega tr)=+sin(omega t)
Logo as duas ondas somam em fase, e a amplitude resultante é
xitot=AE+ADapprox9,756times10^-5+1,026times10^-4approx2,00times10^-4 m

Passo 6

Usando de novo
I=tfrac12rho c(omegaxitot)^2approx9,56timesl(tfrac2,00times10^-41,00times10^-4r)^2approx38,2 W/m^2
O nível é
L=10log1038,210^-12approx135,8 dBapprox136 dB

Resposta

(a) Lapprox130 dB. (b) utot(0,t)=0, logo I=0 e silêncio (nível neg.– !infty dB). (c) utot(0,25,t) tem amplitude 2,00times10^-4 m, Iapprox38,2 W/m² e Lapprox136 dB.

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