Encontre a solução geral das equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, a questão pede pra encontrar a solução geral da EDO
Conteúdo: equações diferenciais de variáveis separáveis.
O que precisamos:
O que precisamos:
- escrever a EDO na forma
, - separar
e em lados diferentes, - integrar cada lado, usando substituições se precisar,
- montar a expressão com a constante de integração.
Passo 2
Vamos isolar
. Partindo de
subtraímos o primeiro termo e dividimos por
:
Passo 3
Agora separamos as variáveis: tudo que envolve
do lado de
, e
do lado de
.
Repare que
e^x-y=e^x/e^y , e aí juntamos
e^y com
dy ,
e^x+1 com
dx .
Passo 4
Integramos cada lado:
(1) Lado de
y :
Fazendo
u=1+e^y ,
du=e^y,dy ,
(2) Lado de
x :
Fazendo
t=1+e^x ,
dt=e^x,dx ,
Então, igualando as duas integrais mais a constante
C :
onde
C'=-C é outra constante.
Passo 5
Só restou recolocar a constante de modo simpático. Chamando de
C a constante final, podemos escrever a solução de forma implícita como
ou, equivalentemente,
Resposta
A solução geral da EDO é dada implicitamente por
com
C constante de integração.