Encontre a solução geral das equações diferenciais:
(e^y+1)^2 e^-y+(e^x+1) e^-x d yd x=0

Passo 1

Beleza, a questão pede pra encontrar a solução geral da EDO
(e^y+1)^2e^-y ;+;(e^x+1)e^-x,dydx=0
Conteúdo: equações diferenciais de variáveis separáveis.
O que precisamos:
  1. escrever a EDO na forma dy/dx = F(x),G(y),
  2. separar y e x em lados diferentes,
  3. integrar cada lado, usando substituições se precisar,
  4. montar a expressão com a constante de integração.

Passo 2

Vamos isolar dfracdydx. Partindo de
(e^y+1)^2e^-y + (e^x+1)e^-x,dydx=0,
subtraímos o primeiro termo e dividimos por (e^x+1)e^-x:
dydx = -,(e^y+1)^2e^-y(e^x+1)e^-x = -,e^,x-y,(e^y+1)^2e^x+1

Passo 3

Agora separamos as variáveis: tudo que envolve y do lado de dy, e x do lado de dx.
dydx = -,e^x-y,(e^y+1)^2e^x+1 ;Longrightarrow; underbracee^y(e^y+1)^2,dysó y ;=; -,underbracee^xe^x+1,dxsó x óó
Repare que e^x-y=e^x/e^y, e aí juntamos e^y com dy, e^x+1 com dx.

Passo 4

Integramos cada lado:
(1) Lado de y:
integral e^y(1+e^y)^2,dy
Fazendo u=1+e^y, du=e^y,dy,
integral duu^2 = -1u = -11+e^y
(2) Lado de x:
-integral e^x1+e^x,dx
Fazendo t=1+e^x, dt=e^x,dx,
-integral dtt = -ln|t| = -lnl(1+e^xr)
Então, igualando as duas integrais mais a constante C:
-11+e^y = -lnl(1+e^xr) + C ;Longrightarrow; 11+e^y = lnl(1+e^xr) + C',
onde C'=-C é outra constante.

Passo 5

Só restou recolocar a constante de modo simpático. Chamando de C a constante final, podemos escrever a solução de forma implícita como
boxed11+e^y - lnl(1+e^xr) = C
ou, equivalentemente,
boxed11+e^y + lnl(1+e^xr) = C

Resposta

A solução geral da EDO é dada implicitamente por
11+e^y + lnl(1+e^xr) = C,
com C constante de integração.

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