1. Determinar a derivada segunda da função y=cos ^2 3 x.

Passo 1

Então, a questão pede a derivada segunda de y=cos^2(3x). O tema envolve derivadas de funções compostas (regra da cadeia), derivadas de funções trigonométricas e uso de identidade trigonométrica para simplificar. Vamos usar: derivada de u^2, derivada de cos v e sin(2theta)=2sinthetacostheta.

Passo 2

Para achar a derivada primeira, define u=cos(3x) e aplica a regra da cadeia em y=u^2:
y'=2u,u'
Como u=cos(3x), derivando:
u'=-sin(3x)cdot3
Substituindo em y':
y'=2cos(3x)cdot(-3sin(3x))=-6cos(3x)sin(3x)
Para simplificar, usa a identidade sin(2theta)=2sinthetacostheta com theta=3x:
y'=-6cos(3x)sin(3x)=-3sin(6x)

Passo 3

Para a segunda derivada, parte de y'=-3sin(6x). Derivando novamente:
y''=-3cdot(cos(6x)cdot6)=-18cos(6x)

Resposta

-18cos(6x)

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