Determinar as derivadas das funções:
f(x)=\frac{e{x}+e{-x}}{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2}
e pede a derivada f'(x). O conteúdo envolvido é a derivada de funções exponenciais, usando a linearidade da derivada (soma e constante múltiplo) e o teorema da cadeia.

Passo 2

Sabemos que
– A derivada de \mathrm{e}^{x} é
\frac{d}{dx}\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{x}.
– Pelo teorema da cadeia, se u(x)=-x então
\frac{d}{dx}\mathrm{e}^{u(x)}=\mathrm{e}^{u(x)}\cdot u'(x) \quad\implies\quad \frac{d}{dx}\mathrm{e}^{-x}=\mathrm{e}^{-x}\cdot(-1)=-\mathrm{e}^{-x}.

Passo 3

Reescrevendo f(x) como soma de termos:
f(x)=\frac12\,\mathrm{e}^{x}+\frac12\,\mathrm{e}^{-x},
aplicamos derivada termo a termo e fator constante:
f'(x) =\frac12\frac{d}{dx}\mathrm{e}^{x} +\frac12\frac{d}{dx}\mathrm{e}^{-x} =\frac12\,\mathrm{e}^{x} +\frac12\bigl(-\mathrm{e}^{-x}\bigr) =\frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{2}.

Resposta

f'(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{2}.

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