Determinar as derivadas das funções:
f(x)=\frac{x^{2}-1}{\ln \left(x^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{x^{2}-1}{\ln\bigl(x^{2}\bigr)}.
Vamos usar a regra do quociente, que diz que se f(x)=\tfrac{u(x)}{v(x)}, então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}},
e a regra da cadeia para derivar \ln(x^{2}).

Passo 2

Definimos
u(x)=x^{2}-1,\quad v(x)=\ln\bigl(x^{2}\bigr).
Derivando cada uma:
u'(x)=2x, \qquad v'(x)=\frac{d}{dx}\ln\bigl(x^{2}\bigr) =\frac{2x}{x^{2}} =\frac{2}{x}.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente:
f'(x) =\frac{2x\;\ln\bigl(x^{2}\bigr)\;-\;(x^{2}-1)\,\frac{2}{x}}{\bigl[\ln\bigl(x^{2}\bigr)\bigr]^{2}}.

Passo 4

No numerador, colocamos sobre o mesmo denominador x:
2x\,\ln\bigl(x^{2}\bigr) -\frac{2\,(x^{2}-1)}{x} = \frac{2x^{2}\ln\bigl(x^{2}\bigr)-2(x^{2}-1)}{x}.

Passo 5

Substituindo de volta em f'(x) e simplificando:
f'(x) =\frac{\displaystyle \frac{2\bigl[x^{2}\ln(x^{2})-(x^{2}-1)\bigr]}{x}} {\bigl[\ln(x^{2})\bigr]^{2}} =\frac{2\bigl(x^{2}\ln(x^{2})-x^{2}+1\bigr)}{x\,\bigl[\ln(x^{2})\bigr]^{2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{2\bigl(x^{2}\ln(x^{2})-x^{2}+1\bigr)}{x\,[\ln(x^{2})]^{2}}.

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