Encontrar a equação da reta tangente às funções nos pontos indicados:
f(x)=\frac{\left(e{x}+e{-x}\right)}{2} em A\left(1 ; \frac{e^{2}+1}{2 e}\right)

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à função
f(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}
no ponto A\bigl(1;\frac{e^{2}+1}{2e}\bigr). O conteúdo usado será derivação para obter o coeficiente angular e, em seguida, a fórmula ponto-declive da reta tangente.

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Como
f(x)=\tfrac12\bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr),
temos
f'(x) =\tfrac12\bigl(e^{x}-e^{-x}\bigr).

Passo 3

Avaliar f e f' em x=1:
f(1) =\frac{e^{1}+e^{-1}}{2} =\frac{e+\tfrac1e}{2} =\frac{e^{2}+1}{2e},
f'(1) =\frac{e^{1}-e^{-1}}{2} =\frac{e-\tfrac1e}{2} =\frac{e^{2}-1}{2e}.

Passo 4

Usamos a fórmula ponto-declive da reta tangente:
y - y_0 = m\,(x - x_0),
em que x_0=1, y_0=f(1)=\frac{e^{2}+1}{2e} e m=f'(1)=\frac{e^{2}-1}{2e}. Logo,
y - \frac{e^{2}+1}{2e} =\frac{e^{2}-1}{2e}\,(x-1).

Passo 5

Para obter a forma y=mx+b, expandimos:
y =\frac{e^{2}-1}{2e}\,x - \frac{e^{2}-1}{2e} + \frac{e^{2}+1}{2e} =\frac{e^{2}-1}{2e}\,x + \frac{1}{e}.

Resposta

A equação da reta tangente é
y = \frac{e^{2}-1}{2e}\,x + \frac{1}{e}.

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