Nos problemas a seguir, resolva as EDO’s de Cauchy-Euler para encontrar as soluções homogeneas. Para as EDO’s não homogêneas, use variação de paràmetros para obter uma solução particular.
x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-y=\frac{1}{x+1}

Passo 1

O enunciado é resolver a EDO de Cauchy–Euler
x^{2}y''+x\,y'-y=\frac{1}{x+1},
encontrando primeiro a solução da homogênea e depois, por variação de parâmetros, uma solução particular.

Passo 2

Para a homogênea
x^{2}y''+x\,y'-y=0
usamos o ansatz y=x^{r}. Substituindo na EDO obtém-se a equação característica
r(r-1)+r-1=0\quad\Longrightarrow\quad r^{2}-1=0\quad\Longrightarrow\quad r=\pm1.
Logo as soluções fundamentais são
y_{1}=x^{1}=x,\quad y_{2}=x^{-1},
e a solução geral da homogênea é
y_{h}=C_{1}x+C_{2}x^{-1}.

Passo 3

Para aplicar variação de parâmetros, escrevemos a EDO na forma padrão
y''+P(x)y'+Q(x)y=R(x).
Dividindo por x^{2} obtemos
y''+\frac{1}{x}y'-\frac{1}{x^{2}}y=\frac{1}{x^{2}(x+1)},
ou seja
P(x)=\frac{1}{x},\quad Q(x)=-\frac{1}{x^{2}},\quad R(x)=\frac{1}{x^{2}(x+1)}.
As duas soluções já conhecidas são y_{1}=x, y_{2}=x^{-1}. O wronskiano é
W=\begin{vmatrix} x & x^{-1}\\[6pt] 1 & -x^{-2} \end{vmatrix} =-x^{-1}-x^{-1}=-2x^{-1}.]

Passo 4

As fórmulas de variação de parâmetros dão
u_{1}'=-\frac{R(x)\,y_{2}}{W},\qquad u_{2}'=\frac{R(x)\,y_{1}}{W}.

Passo 5

Substituindo R, y_{1}, y_{2}, W:
u_{1}'=-\frac{\frac{1}{x^{2}(x+1)}\cdot x^{-1}}{-2x^{-1}} =\frac{1}{2x^{2}(x+1)}, \qquad u_{2}'=\frac{\frac{1}{x^{2}(x+1)}\cdot x}{-2x^{-1}} =-\frac{1}{2(x+1)}.

Passo 6

Integramos para obter u_{1} e u_{2}:
  1. u_{1}=\displaystyle\int\frac{1}{2x^{2}(x+1)}\,dx =\frac12\int\frac{dx}{x^{2}(x+1)}.
    Fazendo frações parciais
\frac{1}{x^{2}(x+1)} =-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x+1},
temos
u_{1}=\frac12\Bigl(-\ln|x|-\frac{1}{x}+\ln|x+1|\Bigr).
  1. u_{2}=\displaystyle\int-\frac{1}{2(x+1)}\,dx =-\frac12\ln|x+1|.

Passo 7

A solução particular é
y_{p}=u_{1}\,y_{1}+u_{2}\,y_{2} =x\cdot\frac12\Bigl(\ln\frac{x+1}{x}-\frac{1}{x}\Bigr) -\frac{1}{2}\ln|x+1|\;x^{-1}.
Portanto a solução geral é
y=C_{1}x+C_{2}x^{-1} +x\cdot\frac12\Bigl(\ln\frac{x+1}{x}-\frac{1}{x}\Bigr) -\frac{1}{2x}\ln|x+1|.

Resposta

\boxed{ y(x) =C_{1}x+C_{2}x^{-1} +\frac{x}{2}\Bigl(\ln\frac{x+1}{x}-\frac{1}{x}\Bigr) -\frac{1}{2x}\ln|x+1| }.

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