Determinar as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y das funções abaixo:
z=x^2 cdot sen(2 x y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y da função z = x^2 cdot sen(2xy) . Isso faz parte do cálculo multivariável, especificamente das derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar partial zpartial x. A função z é o produto de x^2 e sen(2xy) , então usamos a regra do produto, que diz que a derivada de dois fatores é a derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo.
Então,
partial zpartial x = partialpartial x(x^2) cdot sen(2xy) + x^2 cdot partialpartial x(sen(2xy))
Calculando cada parte:
  1. partialpartial x(x^2) = 2x
  2. Para partialpartial x(sen(2xy)), usamos a regra da cadeia. A derivada de sen(u) é cos(u) cdot partial upartial x, onde u = 2xy .
    partial upartial x = 2y
    Então,
partialpartial x(sen(2xy)) = cos(2xy) cdot 2y
Substituindo de volta:
partial zpartial x = 2x cdot sen(2xy) + x^2 cdot 2y cdot cos(2xy)

Passo 3

Agora, vamos encontrar partial zpartial y. Novamente, usamos a regra do produto:
partial zpartial y = partialpartial y(x^2) cdot sen(2xy) + x^2 cdot partialpartial y(sen(2xy))
Calculando cada parte:
  1. partialpartial y(x^2) = 0 (porque x^2 é constante em relação a y)
  2. Para partialpartial y(sen(2xy)), novamente usamos a regra da cadeia. A derivada de sen(u) é cos(u) cdot partial upartial y, onde u = 2xy .
    partial upartial y = 2x
    Então,
partialpartial y(sen(2xy)) = cos(2xy) cdot 2x
Substituindo de volta:
partial zpartial y = 0 + x^2 cdot 2x cdot cos(2xy) = 2x^3 cdot cos(2xy)

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = 2x cdot sen(2xy) + 2x^2y cdot cos(2xy)
e
partial zpartial y = 2x^3 cdot cos(2xy)

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