Determinar as derivadas parciais
e
das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar as derivadas parciais
e
da função
. Isso faz parte do cálculo multivariável, especificamente das derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
. A função
é o produto de
e
, então usamos a regra do produto, que diz que a derivada de dois fatores é a derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo.
Então,
Calculando cada parte:
-
-
Para
, usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde . Então,
Substituindo de volta:
Passo 3
Agora, vamos encontrar
. Novamente, usamos a regra do produto:
Calculando cada parte:
-
(porque é constante em relação a ) -
Para
, novamente usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde . Então,
Substituindo de volta:
Resposta
As derivadas parciais são:
e