Determinar a equaçao da reta tangente à circunferência x^2+y^2-10 x+2 y+18=0 e que tem coeficiente angular m=1.

Passo 1

O enunciado pede a(s) reta(s) com coeficiente angular m=1 que sejam tangentes à circunferência
x^2+y^2-10x+2y+18=0
Para resolver, vamos (i) determinar o centro e o raio da circunferência completando quadrados, (ii) escrever a reta genérica y = x + b e (iii) impor que a distância do centro dessa circunferência a essa reta seja igual ao raio.

Passo 2

Começando pelos quadrados perfeitos, escrevemos
x^2-10x + y^2+2y +18 = 0 ;Longrightarrow; (x^2-10x+25) + (y^2+2y+1) +18 -25 -1 = 0,
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(x-5)^2 + (y+1)^2 = 8
Portanto o centro é C=(5,-1) e o raio é r=raiz8=2raiz2.

Passo 3

A reta de coeficiente angular 1 pode ser escrita como
y = x + b
Em forma geral Ax+By+C=0 temos x - y + b = 0, ou seja A=1, B=-1, C=b.

Passo 4

A distância do ponto C=(5,-1) à reta x - y + b=0 é
d = lvert Acdot xC + Bcdot yC + CrvertraizA^2+B^2 = lvert 1cdot 5 +(-1)cdot(-1) + brvertraiz1^2+(-1)^2 = lvert 6 + brvertraiz2
Para serem tangentes, impomos d = r = 2raiz2, isto é
lvert 6 + brvertraiz2 = 2raiz2 ;Longrightarrow; lvert 6 + brvert = 4 ;Longrightarrow; 6 + b = pm 4
Assim b = -2 ou b = -10.

Passo 5

Substituindo cada valor de b na reta y = x + b, obtemos as duas retas tangentes:
y = x - 2 e y = x - 10

Resposta

y = x - 2
y = x - 10

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