Determinar a equação da reta tangente à circunferência x^2+y^2+2 x+2 y-24=0 traçada do ponto A=(8,6) (duas soluções).

Passo 1

O enunciado pede as equações das retas que passam por A=(8,6) e tocam ( = tangentes) à circunferência
x^2+y^2+2x+2y-24=0
O conteúdo é geometria analítica: vamos usar a forma geral da reta com coeficiente angular m e impor que ela tenha interseção única com a circunferência (discriminante nulo).

Passo 2

Primeiro colocamos a circunferência em forma canônica para achar centro C e raio r.
x^2+2x + y^2+2y -24=0 Longrightarrow (x+1)^2-1 + (y+1)^2-1 -24=0
Longrightarrow (x+1)^2 + (y+1)^2 = 26
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C = (-1,-1), r = raiz26

Passo 3

A reta genérica que passa por A=(8,6) tem equação
y - 6 = m,(x - 8),
ou seja
y = m,x + b, b = 6 - 8m

Passo 4

Substituímos y = m x + b na equação da circunferência e obtemos uma equação quadrática em x:
x^2 + (m x + b)^2 + 2x + 2(m x + b) -24 = 0
Expandindo e agrupando em
a,x^2 + b!x,x + c = 0
chegamos a
a = 1 + m^2, b!x = -16m^2 + 14m + 2, c = 64m^2 - 112m + 24
Para que haja exatamente uma interseção (tangente), o discriminante dessa quadrática deve ser zero:
De<a = b!x^2 - 4,a,c = 0

Passo 5

Calculando De<a=0 obtemos
-220,m^2 + 504,m - 92 = 0 Long<=ftrightarrow 55,m^2 - 126,m + 23 = 0
Resolvendo:
m = 126 pm raiz126^2 - 4cdot55cdot232cdot55 = 126 pm 104110
Longrightarrow m1 = 2311, m2 = 15

Passo 6

Para cada m achamos b = 6 - 8m:
1. Se m1 = tfrac2311, então
b1 = 6 - 8cdot2311 = 66 - 18411 = -11811,
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y = 2311,x - 11811
2. Se m2 = tfrac15, então
b2 = 6 - 8cdot15 = 30 - 85 = 225,
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y = 15,x + 225

Resposta

As retas tangentes pedidas são
y = 2311,x - 11811 e y = 15,x + 225

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